福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第2問〜立方体の切断と位置ベクトル - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第2問〜立方体の切断と位置ベクトル

問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{2}}$ 一辺の長さが2である立方体OADB-CFGEを考える。
$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$とおく。辺AFの中点をM、辺BDの中点をNとし、3点O,M,Nを通る平面$\pi$で立方体を切断する。
(1)平面$\pi$は辺AF,BD以外に辺$\boxed{\ \ あ\ \ }$とその両端以外で交わる。
(2)平面$\pi$と辺$\boxed{\ \ あ\ \ }$との交点をPとすると$\overrightarrow{OP}$=$\boxed{\ \ い\ \ } \overrightarrow{a}$+$\boxed{\ \ う\ \ } \overrightarrow{b}$+$\boxed{\ \ え\ \ } \overrightarrow{c}$
(3)断面の面積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$である。
(4)切断されてできる立体のうち、頂点Aを含むものの体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(5)平面$\pi$と線分CDとの交点をQとする。
(i)点Qは線分CDを$\boxed{\ \ お\ \ }$に内分する。
(ii)$\overrightarrow{OQ}$=$\boxed{\ \ か\ \ } \overrightarrow{a}$+$\boxed{\ \ き\ \ } \overrightarrow{b}$+$\boxed{\ \ く\ \ } \overrightarrow{c}$である。

$\boxed{\ \ い\ \ }~\boxed{\ \ え\ \ }$, $\boxed{\ \ か\ \ }~\boxed{\ \ く\ \ }$の選択肢
(a)0 (b)1 (c)$\frac{1}{2}$ (d)$\frac{1}{3}$ (e)$\frac{2}{3}$ (f)$\frac{1}{4}$ (g)$\frac{3}{4}$ (h)$\frac{1}{5}$ 
(i)$\frac{2}{5}$ (j)$\frac{3}{5}$ (k)$\frac{4}{5}$ (l)$\frac{1}{6}$ (m)$\frac{5}{6}$

$\boxed{\ \ お\ \ }$の選択肢
(a)1:1 (b)2:1 (c)1:2 (d)3:1 (e)1:3 (f)4:1 (g)3:2 
(h)2:3 (i)1:4 (j)5:1 (k)1:5 
単元: #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#立体切断#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{2}}$ 一辺の長さが2である立方体OADB-CFGEを考える。
$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$とおく。辺AFの中点をM、辺BDの中点をNとし、3点O,M,Nを通る平面$\pi$で立方体を切断する。
(1)平面$\pi$は辺AF,BD以外に辺$\boxed{\ \ あ\ \ }$とその両端以外で交わる。
(2)平面$\pi$と辺$\boxed{\ \ あ\ \ }$との交点をPとすると$\overrightarrow{OP}$=$\boxed{\ \ い\ \ } \overrightarrow{a}$+$\boxed{\ \ う\ \ } \overrightarrow{b}$+$\boxed{\ \ え\ \ } \overrightarrow{c}$
(3)断面の面積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$である。
(4)切断されてできる立体のうち、頂点Aを含むものの体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(5)平面$\pi$と線分CDとの交点をQとする。
(i)点Qは線分CDを$\boxed{\ \ お\ \ }$に内分する。
(ii)$\overrightarrow{OQ}$=$\boxed{\ \ か\ \ } \overrightarrow{a}$+$\boxed{\ \ き\ \ } \overrightarrow{b}$+$\boxed{\ \ く\ \ } \overrightarrow{c}$である。

$\boxed{\ \ い\ \ }~\boxed{\ \ え\ \ }$, $\boxed{\ \ か\ \ }~\boxed{\ \ く\ \ }$の選択肢
(a)0 (b)1 (c)$\frac{1}{2}$ (d)$\frac{1}{3}$ (e)$\frac{2}{3}$ (f)$\frac{1}{4}$ (g)$\frac{3}{4}$ (h)$\frac{1}{5}$ 
(i)$\frac{2}{5}$ (j)$\frac{3}{5}$ (k)$\frac{4}{5}$ (l)$\frac{1}{6}$ (m)$\frac{5}{6}$

$\boxed{\ \ お\ \ }$の選択肢
(a)1:1 (b)2:1 (c)1:2 (d)3:1 (e)1:3 (f)4:1 (g)3:2 
(h)2:3 (i)1:4 (j)5:1 (k)1:5 
投稿日:2023.09.16

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問題文全文(内容文):
${\large\boxed{3}}$正四面体$OABC$の辺$BC$の中点をM、辺OCを1:2に内分する点をNとする。
点Nと平面OABに関して対称な点をPとする。このとき、
$\overrightarrow{ OP }=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ イ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \overrightarrow{ OC }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
である。
次に、点Qは平面OAB上の点で$|\overrightarrow{ MQ }|+|\overrightarrow{ QN }|$が最小になる点とする。
このとき、
$\overrightarrow{ OQ }=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$
である。

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$\Large\boxed{3}$ 点O, A, B, Cを頂点とする四面体OABCを考える。辺OA, OB, OCの中点をそれぞれP, Q, Rとし、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれS, T, Uとする。
(1)辺PS, QT, RUが1点で交わることを示せ。
(2)$OA^2$+$BC^2$=$OB^2$+$CA^2$=$OC^2$+$AB^2$ のとき、点P, Q, R, S, T, Uが同一球面上にあることを示せ。
(3)(2)において、辺PSが辺OA, BCと直交するとし、辺OA, BCの長さをそれぞれ$a$, $k$とする。点P, Q, R, S, T, Uを頂点とする八面体の体積$V$を$a$と$k$を用いて表せ。
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$\Large\boxed{4}$ 座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)$\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OC}$=1 を満たす点Pの座標を求めよ。
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問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{3}$ 直方体OABC-DEFGにおける各辺の長さは
OA=CB=DE=GF=1
AB=OC=EF=DG=$\sqrt 2$
OD=AE=BF=CG=$\sqrt 3$
である。点Bから3点O, E, Gを含む平面に下ろした垂線の足をHとする。このとき、$\overrightarrow{\textrm{OH}}$=$\displaystyle\frac{\boxed{ケ}}{\boxed{コ}}\overrightarrow{\textrm{OE}}$+$\displaystyle\frac{\boxed{サ}}{\boxed{シ}}\overrightarrow{\textrm{OG}}$ と表すことができ、$|\overrightarrow{\textrm{BH}}|^2$=$\displaystyle\frac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}$ である。
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