問題文全文(内容文)：
$x^2+y^2 \lt 9$
$x^2 \leqq y^2$をみたす整数の組$x,y$の個数を求めよ。

出典：2004年慶應義塾大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$がある。
$a_1=1,　a_{n+1}=3a_n+4n　(n=1,2,3,\ldots)$
また、$n$に無関係な定数$p,q$に対し、
$b_n=a_n+pn+q　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。このとき次の問いに答えよ。
(1)$n,p,q$に無関係な定数$A,B,C,D,E$が
$b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq)　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列$\left\{b_n\right\}$が公比$A$の等比数列となるような
$p,q$の値をそれぞれ求めよ。
(3)(2)で求めた$p,q$の値に対して、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよ。

2021立教大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ pを3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(1)$\cos3\theta$と$\cos4\theta$を$\cos\theta$の式として表せ。
(2)$\cos\theta$=$\frac{1}{p}$のとき、θ=$\frac{m}{n}$・$\pi$となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

チェビシェフの多項式
$\cos n\theta$=$T_n$($\cos\theta$)を満たすn次の多項式$T_n(x)$が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が$2^{n-1}$である。
これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

2023京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
【群馬大学(医) 2023】
$xy$平面上において、不等式$(ye^x)^2≦(sin2x)^2, 0≦x≦π$の表す領域を$D$とし、領域$D$と直線$x=a$の共通部分の線分の長さを$l(a)$とする。以下の問に答えよ。
(1) $l(a)$が$a=a_0$で最大となるとき、$tana_0$の値を求めよ。
(2)領域$D$の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする

半径$1$の球面とする。

また、点$P(a,b,c)$を

点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。

点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との

交点を$Q$とおく。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。

(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を

$m$とする。

直線$m$と球面$S$の交点のうち、

点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。

(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、

ベクトル$(3,4,5)$に直交する

平面$\alpha$を考える。

点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、

点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。

$2025$年東北大学理系過去問題