【数Ⅲ】【積分とその応用】面積9 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
座標平面上で、原点

O

から曲線

y = \sin x

へ引いた接線の接点を

T (α, \sin α)

とする。ただし、

π < α < \frac{3}{2} π

とする。
(1)

α

の満たす方程式を求めよ。
(2)曲線

y = \sin x

と線分

O T

で囲まれた部分の面積

S

を、

\cos α

で表せ。

チャプター：

0:00 オープニング
0:05 (1)解説
1:35 (2)解説
2:49 エンディング

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
座標平面上で、原点

O

から曲線

y = \sin x

へ引いた接線の接点を

T (α, \sin α)

とする。ただし、

π < α < \frac{3}{2} π

とする。
(1)

α

の満たす方程式を求めよ。
(2)曲線

y = \sin x

と線分

O T

で囲まれた部分の面積

S

を、

\cos α

で表せ。

投稿日：2025.03.18

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問題文全文(内容文)：

\int \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{x} - e^{- x}} d x

出典：国立高等専門学校機構

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問題文全文(内容文)：

5

Oを原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a),(b),(c)を満たしている。
(a)：点Pはx軸上にある。
(b)：点Qはyz平面上にある。
(c)：線分OPと線分OQの長さの和は1である。
点Pと点Qが条件(a),(b),(c)を満たしながらくまなく動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a, h

を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線

x = h

からの距離の

a

倍であるような点

P

の軌跡を考える。点

P

の座標を

(x, y)

とする
と、

x, y

は次の方程式を満たす。

(1 - ア) x^{2} + 2 イ x + y^{2} = ウ . . . (1)

ア, イ, ウ

の解答群

⓪ a^{2} ① h^{2} ② a^{3} ③ a^{2} h ④ a h^{2}

⑤ h^{3} ⑥ b^{4} ⑦ a^{2} h^{2} ⑧ a h^{3} ⑨ h^{4}

次に、座標平面の原点

O

を極、

x

軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点

P

の極座標を

(r θ)

とする。

r ≦ h

を満たすとき、
点

P

の直交座標

(x, y)

を

a, h, θ

を用いて表すと

(x, y) = (\frac{エ}{オ} \cos θ, \frac{エ}{オ} \sin θ) . . . (2)

エ, オ

の解答群

⓪ h ① a h ② h^{2} ③ a h^{2} ④ 1 + a \cos θ

⑤ 1 + a \sin θ ⑥ a \cos θ - 1 ⑦ a \sin θ - 1 ⑧ 1 - a \cos θ ⑨ 1 - a \sin θ

(1)から、

a = カ

のとき、点

P

の軌跡は放物線

x = キ y^{2} + ク

となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積

S

は

S = 2 \int_{0}^{ケ} x d y = 2 \int_{0}^{ケ} (キ y^{2} + ク) d y =

\frac{コ}{サ} h^{2}

である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos θ}{(1 + \cos θ)^{2}} d θ = \frac{シ}{ス}

キ, ク, ケ

の解答群

⓪ h ① 2 h ② \frac{h}{2} ③ - \frac{h}{2} ④ \frac{1}{h}

⑤ - \frac{1}{h} ⑥ \frac{1}{2 h} ⑦ - \frac{1}{2 h} ⑧ h^{2} ⑨ - h^{2}

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問題文全文(内容文)：
（1）

I = \int_{1}^{2} 2^{2^{x}} d x

のとき

\int_{1}^{2} 2^{2 x} l o g (2 x) d x

を

I

を用いて表せ

（2）

I = \int_{1}^{2} (2^{2^{x}} + 2^{(2 x + 1)} l o g x) d x

を求めよ

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問題文全文(内容文)：

\int \sin^{4} x d x

出典：2011年信州大学後期　入試問題

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