問題文全文(内容文)：
(1)三角形$ABC$の内接円が辺$AB$と接する点をPとし、
辺$BC$と接する点を$Q$とし、辺$CA$と接する点をRとする。
$\angle A$の大きさを$θ$とすると、$\angle APR=\boxed{ア}$であり、
$\angle PQR=\boxed{ア}$である。

$\boxed{ア}$の解答群
$⓪0 ①\frac{\pi}{2} ②θ ③\frac{θ}{2} ④\frac{\pi}{2}-θ ⑤\frac{\pi-θ}{2}$
$⑥\pi-\frac{θ}{2} ⑦\pi-θ ⑧\frac{\pi-3θ}{2} ⑨\frac{\pi}{2}-3θ$

(2)三角形$T_1$の3つの角のうち、角の大きさが最小のものは$\frac{\pi}{6}$で、
最大のものは$\frac{\pi}{2}$であるとする。
$n=1,\ 2,\ 3,\ ...$について、三角形$T_n$の内接円を$O_n$とし、
$T_n$と$O_n$とが接する3つの点を頂点とするような三角形を$T_{n+1}$とする。
このとき、三角形$T_2$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものは$\frac{\pi}{\boxed{イ}}$で、
最大のものは$\frac{\boxed{ウ}\ \pi}{\boxed{エオ}}$である。
$n=1,\ 2,\ 3,\ ...$について、三角形$T_n$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものを$a_n$とし、最大のものを$b_n$とする。三角形$T_{n+1}$について、
$a_{n+1}=\boxed{カ},\ \ \ b_{n+1}=\boxed{キ}$
と表せる。この式より
$a_n+b_n=\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}\pi,$
$b_n-a_n=\frac{\pi}{\boxed{コ}・\boxed{サ}^{n-1}}$
であり、$a_n=\frac{\pi}{\boxed{シ}}(1-\frac{1}{\boxed{ス}^n}) $である。

$\boxed{カ}、\boxed{キ}$の解答群
$⓪\frac{a_n}{2} ①\frac{b_n}{2} ②\frac{\pi}{2}-a_n ③\frac{\pi}{2}-b_n ④\frac{\pi-a_n}{2}$
$⑤\frac{\pi-b_n}{2} ⑥\pi-\frac{a_n}{2} ⑦\pi-\frac{b_n}{2} ⑧\pi-a_n ⑨\pi-b_n$

2022明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
a,6,2aが等差数列のとき、aの値を求めよ

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$$\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{\ \ ア\ \ }$　である。

(2)$b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\left(n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ オ\ \ }\right)}$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\left(\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ケ\ \ }}{n+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{k+1}=$$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が成り立つことを利用すると

$b_n=\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }\left(n+\boxed{\ \ チ\ \ }\right)}$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n=\boxed{\ \ ツ\ \ }^{n-\boxed{テ}}\left(n^2-\boxed{\ \ ト\ \ }\right)+$$\displaystyle \frac{\left(n+\boxed{\ \ ナ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ ニ\ \ }\right)}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$

で与えられる。ただし、$\boxed{\ \ ナ\ \ } \lt \boxed{\ \ ニ\ \ }$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{\ \ ネ\ \ },$　$\boxed{\ \ ノ\ \ },$　$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
次の等比数列の初項と公比を求めよう.

①初項から第3項までの和が3,初項から第6項までの和が27

②第3項が4,初項から第3項までの和が7

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数とする.
$\alpha=\sqrt[3]{9+4\sqrt5},\beta=\sqrt[3]{9-4\sqrt5}$
$a_n=\alpha^{2n-1}+\beta^{2n-1}$である.
$a_{n+4}-a_n$が7の倍数であることを示せ.

一橋:順天堂(医)過去問