問題文全文(内容文)：
共通テスト(プレテスト)の解説動画です

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい\\
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。\\
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ\\
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに\\
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩\\
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は\\
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に\\
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び\\
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転\\
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い\\
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。\\
x=a_nを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=b_nをそのときの歩\\
行者の位置とする。\\
\\
\\
(1) 花子さんと太郎さんは、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項を求めるために、歩行者\\
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標\\
平面上の点(x,y)で表すことにした。\\
a_1=2,b_1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転\\
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を\\
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき\\
の時刻と位置を表す点の座標は(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })である。よって\\
a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },　b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
である。\\
\\
花子:数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項について考える前に、\\
(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })の求め方について整理してみようか。\\
太郎:花子さんはどうやって求めたの？\\
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと\\
を利用したよ。\\
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を\\
計算して求めることもできるね。\\
\\
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標\\
は(a_n,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は\\
(a_n,b_n)である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に\\
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、a_n,b_nを用いて、\\
(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })と表せる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪a_n　①b_n　②2a_n\\
③a_n+b_n　④2b_n　⑤3a_n\\
⑥2a_n+b_n　⑦a_n+2b_n　⑧3b_n\\
\\
以上から、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}について、自然数nに対して、関係式\\
a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ }　\ldots①\\
b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots②\\
が成り立つことが分かる。まず、b_1=2と②から\\
b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)\\
を得る。この結果と、a_1=2および１から\\
a_n=\boxed{\ \ コ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)\\
がわかる。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪3^{n-1}+1　①\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}\\
②3^{n-1}+n　③\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}\\
④3^{n-1}+n^2　⑤\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}\\
⑥2・3^{n-1}　⑦\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}\\
⑧2・3^{n-1}+n-1　⑨\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}\\
ⓐ2・3^{n-1}+n^2-1　ⓑ\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}\\
\\
\\
(2)歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく\\
回数は\boxed{\ \ サ\ \ }回である。また、\boxed{\ \ サ\ \ }回目に自転車が歩行者に追いつく\\
時刻は、x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }を満たすとする。tを0 \lt t \lt 1を満たす\\
実数とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をPとする。\\
また、直線OP上に点Qをとる。\\
\\
(1)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}　である。\\
また、実数kを用いて、\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }と表せる。したがって\\
\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }　　\ldots\ldots\ldots\ldots①\\
\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OP }が垂直となるのは、t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}　のときである。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }　～　\boxed{\ \ キ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪kt　　①(k-kt)　　②(kt+1)\\
③(kt-1)　　④(k-kt+1)　　⑤(k-kt-1)\\
\\
以下、t ≠\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}とし、\angle OCQが直角であるとする。\\
\\
(2)\angle OCQが直角であることにより、(1)のkは\\
k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }}　\ldots②\\
となることがわかる。\\
\\
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Bを含む部分をD_1、含まない部分をD_2とする。また、平面\\
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Aを含む部分をE_1、含まない部分をE_2とする。\\
・0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}ならば、点Qは\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
・\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1ならば、点Qは\boxed{\ \ セ\ \ }。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪D_1に含まれ、かつE_1に含まれる\\
①D_1に含まれ、かつE_2に含まれる\\
②D_2に含まれ、かつE_1に含まれる\\
③D_2に含まれ、かつE_2に含まれる\\
\\
\\
(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|\overrightarrow{ OQ }|の関係について考えている。\\
t=\frac{1}{2}のとき、①と②により、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}とわかる。\\
\\
太郎:t≠\frac{1}{2}のときにも、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となる場合があるかな。\\
花子:|\overrightarrow{ OQ }|をtを用いて表して、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。\\
太郎:計算が大変そうだね。\\
花子:直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとしたら\\
|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるよ。\\
太郎:\overrightarrow{ OR }を\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OB }を用いて表すことができれば、\\
tの値が求められそうだね。\\
\\
\\
直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとすると\\
\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }\\
=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
t≠\frac{1}{2}のとき、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるtの値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}である。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
[2]　日本国外における日本語教育の状況を調べるために、独立行政法人国際交流基金では\\
「海外日本教育機関調査」を実施しており、各国における教育機関数,教員数,学習数\\
が調べられている。2018年度において学習者数が5000人以上の国と地域(以下、国)\\
は29ヵ国であった。これら29ヵ国について、2009年度と2018年度のデータが得られている。\\
\\
\\
(1)　各国において、学習者数を教員数で割ることにより、国ごとの\\
「教員1人当たりの学習者数」を算出することができる。図1と図2(※動画参照)は、\\
2009年度および2018年度における「教員1人当たりの学習者数」のヒストグラム\\
である。これら二つのヒストグラムから、9年間の変化に関して、後のことが読み取れる。\\
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。\\
\\
\\
・2009年度と2018年度の中央値が含まれる階級の階級値を比較すると、\boxed{\ \ ケ\ \ }\\
・2009年度と2018年度の第1四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、\boxed{\ \ コ\ \ }\\
・2009年度と2018年度の第3四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、\boxed{\ \ サ\ \ }\\
・2009年度と2018年度の範囲を比較すると、\boxed{\ \ シ\ \ }。\\
・2009年度と2018年度の四分位範囲を比較すると、\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }～\boxed{\ \ ス\ \ }を次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪　2018年度の方が小さい\\
①　2018年度の方が大きい\\
②　両者は等しい\\
③　これら二つのヒストグラムからだけでは両者の大小を判断できない\\
\\
\\
(2)各国において、学習者数を教育機関数で割ることにより、「教育機関1機関あたりの\\
学習者数」も算出した。図3(※動画参照)は、2009年度における\\
「教育機関1機関あたりの学習者数」の箱ひげ図である。\\
\\
2009年度について、「教育機関1機関あたりの学習者数」(横軸)と\\
「教員1人当たりの学習者数」(縦軸)の散布図は\boxed{\ \ セ\ \ }である。ここで、\\
2009年度における「教員1人当たりの学習者数」のヒストグラムである(1)の図1\\
を、図4(※動画参照)として再掲しておく。\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。\\
(※選択肢は動画参照)\\
\\
(3)　各国における2018年度の学習者数を100としたときの2009年度の学習者数S,\\
および、各国における2018年度の教員数を100としたときの2009年度の\\
教員数Tを算出した。\\
例えば、学習者数について説明すると、ある国において、2009年度が44272人,\\
2018年度が174521人であった場合、2009年度の学習者数Sは\\
\frac{44272}{174521}×100　より25.4と算出される。\\
表1(※動画参照)はSとTについて、平均値、標準偏差および共分散を計算したものである。\\
ただし、SとTの共分散は、Sの偏差とTの偏差の積の平均値である。\\
表1の数値が四捨五入していない正確な値であるとして、SとTの相関係数\\
を求めると\boxed{\ \ ソ\ \ },　\boxed{\ \ タチ\ \ }　である。\\
\\
(4)　表1と(3)で求めた相関係数を参考にすると、(3)で算出した2009年度の\\
S(横軸)とT(縦軸)の散布図は\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ ツ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ\\
選べ。なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。\\
(※選択肢は動画参照)
\end{eqnarray}