04兵庫県教員採用試験（数学：2番数列と帰納法）

04兵庫県教員採用試験（数学：2番　数列と帰納法）

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \frac{1}{2}

a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}

一般項

a_{n}

を求めよ

単元： #数列#漸化式#数学的帰納法#その他#数学(高校生)#数B#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \frac{1}{2}

a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}

一般項

a_{n}

を求めよ

投稿日：2020.11.14

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問題文全文(内容文)：
高知大学　過去問

初項

a_{1} = 4

、

(2 n + 2) a_{n} - n a_{(n + 1)} - 3 n - 6

(

n = 1, 2, 3, ・ ・ ・

)であるとき次の問いに答えよ。

(1)一般項

a_{n}

を求めよ

(2)

\sum_{k = 1}^{n} a_{k}

を求めよ

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問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とする。2つの整数

a_{n}

b_{n}

を条件

(1 + \sqrt{2})^{n}

a_{n}

b_{n} \sqrt{2}

により定める。ここで

\sqrt{2}

は無理数なので、このような整数の組(

a_{n}

b_{n}

)はただ1つに定まる。
(1)

a_{n + 1}

b_{n + 1}

を

a_{n}

b_{n}

を用いてそれぞれ表せ。さらに

b_{4}

b_{5}

b_{6}

の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式

(1 - \sqrt{2})^{n}

a_{n}

－

b_{n} \sqrt{2}

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)

n

≧2 のとき、

b_{n + 1} b_{n - 1}

－

b_{n}^{2}

を求めよ。
(4)

p b_{6}

－

q b_{5}

=1, 0≦

p

≦100, 0≦

q

≦100 をすべて満たす整数

p

q

の組(

p

q

)を1組求めよ。

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問題文全文(内容文)：

x! = \frac{(5!)!}{5!}

のときx=?

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

sを実数とし、数列

{a_{n}}

を

a_{1}

=s, (n+2)

a_{n + 1}

a_{n}

+2　(n=1,2,3,...)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{n}

をnとsを用いて表せ。
(2)ある正の整数

m

に対して、

\sum_{n = 1}^{m} a_{n}

=0が成り立つとする。sをmを用いて表せ。

2023東北大学理系過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

c

を正の実数とする。各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

x

\sqrt{c - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{c}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

x

\sqrt{a_{n} - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{a_{n}}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

\log_{2} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

を

c

を用いて表せ。
(2)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(3)数列

{b_{n}}

の一般項を

n

と

c

を用いて表せ。

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