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【共通テスト】物理・化学勉強法解説動画です

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光子と電子の違いと光電方程式について
原子分野で使われる物理量、そして光電効果の概念の解説動画です！

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高校物理　単振動についての説明動画です

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\(\boxed{4}\) 次の文章を読み、下の問1～5に答えなさい。〔解答番号 \(\boxed{1}\) ～ \(\boxed{5}\) 〕

図のように、気圧調整器で気圧を調整できる部屋の中に、熱を通さない球形容器Cを入れ、C内に単原子分子\(N\)個からなる理想気体を封入する。この球形容器C内の圧力は部屋の気圧と常に等しく保たれ、部屋の気圧が変化すると、Cの大きさも球形の形を変えることなく変化する。気体を封入した時点の球形容器Cの内半径は\(r\)であった。
球形容器C内は熱平衡状態に保たれ、分子は様々な方向に飛び回っている。この運動を次のように単純化して考える。分子はすべて同じ速さ\(v\)で運動し、分子同士は衝突せず、壁に衝突するまでは等速直線運動を行う。また、球形容器Cの内壁はなめらかで、分子はこのなめらかな内壁と弾性衝突し、衝突の前後で速さは変化しない。このような分子運動から気体の圧力を考えてみよう。気体分子1個の質量を\(m\)とする。ここで、球形容器Cの内壁に入射角\(\theta\)で衝突する分子Aに着目する。

問1 壁との1回の衝突で分子Aが壁に与える力積の大きさはいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(\boxed{1}\)

① \(mv \sin\theta\) 　 ② \(2mv \sin\theta\) 　 ③ \(mv \cos\theta\)
④ \(2mv \cos\theta\) 　 ⑤ \(mv\) 　 ⑥ \(2mv\)

問2 単位時間当たりに分子Aが壁に与える力積の大きさはいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(\boxed{2}\)

① \(\frac{mv^2}{4r}\) 　 ② \(\frac{mv^2}{2r}\) 　 ③ \(\frac{mv^2}{r}\) 　 ④ \(\frac{3mv^2}{2r}\) 　 ⑤ \(\frac{2mv^2}{r}\) 　 ⑥ \(\frac{4mv^2}{r}\)

問3 球形容器C内の気体の圧力\(p\)はいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(p = \boxed{3}\)

① \(\frac{Nmv^2}{4\pi r^3}\) 　 ② \(\frac{Nmv^2}{3\pi r^3}\) 　 ③ \(\frac{Nmv^2}{2\pi r^3}\) 　 ④ \(\frac{3Nmv^2}{4\pi r^3}\) 　 ⑤ \(\frac{Nmv^2}{r^3}\) 　 ⑥ \(\frac{3Nmv^2}{2\pi r^3}\)

部屋の気圧が\(p_1\)のとき、球形容器Cの内半径は\(r_1\)であった。この時点から、部屋内をゆっくりと減圧して行くと、球形容器Cがゆっくりと膨張して行き、部屋の気圧を\(p_2\)にすると、Cの内半径は\(r_2\)になった。部屋の気圧が\(p_1\)のときの分子の速さを\(v_1\)、気圧が\(p_2\)のときの分子の速さを\(v_2\)とする。単原子分子理想気体の断熱変化では気体の圧力\(p\)と体積\(V\)の間に、「\(pV^{\frac{5}{3}} = \text{一定}\)」の関係が成り立つ。

問4 \(v_1\)、\(r_1\)、\(r_2\)を用いて\(v_2\)はどのように表されるか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(v_2 = \boxed{4} \times v_1\)

① \(\frac{r_1}{r_2}\) 　 ② \(\frac{r_2}{r_1}\) 　 ③ \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{1}{2}}\) 　 ④ \(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{\frac{2}{3}}\) 　 ⑤ \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{2}{3}}\) 　 ⑥ \(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{\frac{5}{3}}\)

問5 この断熱変化で球形容器C内の気体が、Cの壁に対してした仕事\(W\)はいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選びなさい。\(W = \boxed{5}\)

① \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left(1 - \frac{r_1}{r_2}\right)\) 　 ② \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left(1 - \frac{r_2}{r_1}\right)\) 　 ③ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right\}\)
④ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2\right\}\) 　 ⑤ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\right\}\) 　 ⑥ \(\frac{Nmv_1^2}{2}\left\{1 - \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3\right\}\)

問題文全文(内容文)：
水素原子において、陽子（水素原子の原子核）は、電子に比べて十分重いので、静止したままである。電子の質量をm、電荷を-eとし、電子の陽子からの距離をrとする。電子と陽子の間にはたらく静電気力の大きさはk₀・e²/r²（k₀は真空中のクーロンの法則の比例定数）
であり、電子はこれを向心力として陽子の周りを等速円運動する。電子の速さをv、プランク定数をhとする。
(1) 電子波の波長を、m, v, hを用いて表せ。
(2) 定常状態では、電子の円軌道(円周)の長さが、電子波の波長の整数倍になっている。 定常状態でとりうる円軌道の半径rを、m, v, h、および正の整数n (=1,2,･･･)を 用いて表せ。
(3) 定常状態における電子の速さが最大となるのは、nがいくらのときか。
(4) 半径rが最小値をとるのは、nがいくらのときか。また、その最小値を有効数字2 桁で求めよ。