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#物理#力学#熱・波・音#大学入試過去問(物理)#理科(高校生)#獨協医科大学
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問題文全文(内容文)：
2 次の文章を読み、下の問1〜4に答えなさい。［解答番号 1 〜 4 ］
図のように、鉛直に置かれた内部の断面積が S の円筒形のシリンダーに、シリンダー内部と同じ断面積で質量 m のピストンがはまって静止しており、内部に単原子分子理想気体が封入されている。シリンダーとピストンは断熱材でできており、ピストンはシリンダーの内壁と気密を保ってなめらかに動くことができる。最初、ピストンが静止している状態を初期状態とし、ピストンが静止している位置を x = 0 として鉛直下向きを正とする x 軸をとる。このときの容器内の気体の圧力を p₀、体積を V₀、温度を T₀ とする。
初期状態から、ピストンを鉛直下方向にわずかにゆっくりと押し下げてから手を放すと、ピストンは単振動を始めた。外気の温度は初期状態の容器内の気体の温度と等しく T₀ で、外気の圧力は P₀、重力加速度の大きさを g とする。単原子分子理想気体の断熱変化では、気体の圧力 p と体積 V の間に、$p V^{\frac{5}{3}} = \text{一定}$ が成立する。また、ε を実数として $\vert{}\varepsilon\vert{}$ が 1 に対して十分に小さいとき、ε の2次以上の項を無視する以下の近似式を用いてよい。
$$(1 + \varepsilon)^\alpha \approx 1 + \alpha \varepsilon \quad (\alpha \text{は実数})$$
問1
ピストンの位置が $x$ のとき、容器内の気体の圧力を $p_x$ とする。初期状態からの体積変化 $Sx$ は初期状態の気体の体積 $V$ に比べて十分に小さい。このとき、$p_x$ と $p_0$ の関係は、$V, S, x$ を用いてどのように表されるか。最も適したものを選びなさい。
$p_x = \fbox{1} \times p_0$
① $\left(1 - \frac{5Sx}{3V}\right)$
② $\left(1 - \frac{3Sx}{2V}\right)$
③ $\left(1 - \frac{2Sx}{3V}\right)$
④ $\left(1 + \frac{2Sx}{3V}\right)$
⑤ $\left(1 + \frac{3Sx}{2V}\right)$
⑥ $\left(1 + \frac{5Sx}{3V}\right)$
問2
ピストンに作用する力は $x$ 軸正の向きを正とする。ピストンの位置が $x$ のとき、ピストンに作用する力 $F$ はいくらか。最も適したものを次の ①～⑥ のうちから一つ選びなさい。
$F = \fbox{2}$
① $-\frac{5p_0 S^2}{3V}x$
② $-\frac{3p_0 S^2}{2V}x$
③ $-\frac{2p_0 S^2}{3V}x$
④ $mg - \frac{5p_0 S^2}{3V}x$
⑤ $mg - \frac{3p_0 S^2}{2V}x$
⑥ $mg - \frac{2p_0 S^2}{3V}x$
問3
ピストンの単振動の周期 $t$ はいくらか。最も適したものを次の ①～⑥ のうちから一つ選びなさい。
$t = \fbox{3} \times \frac{2\pi}{S}$
① $\sqrt{\frac{3mV}{5p_0}}$
② $\sqrt{\frac{2mV}{3p_0}}$
③ $\sqrt{\frac{mV}{p_0}}$
④ $\sqrt{\frac{3mV}{2p_0}}$
⑤ $\sqrt{\frac{2mV}{p_0}}$
⑥ $\sqrt{\frac{5mV}{2p_0}}$
問4
シリンダーを同形で熱をよく通す物質でできたものに替える。初期状態は同じ圧力 $p_0$、体積 $V_0$、温度 $T_0$ である。初期状態から、ピストンを鉛直方向にわずかにゆっくりと押し下げてから手を放すと、ピストンは単振動を始めた。ピストンが単振動中、容器内の気体の温度は外気と同じ温度 $T_0$ に保たれるものとし、この場合のピストンの単振動の周期を $t'$ とする。$t'$ は $t$ の何倍か。最も適したものを、次の ①～⑥ のうちから一つ選びなさい。$\frac{t'}{t} = \fbox{4}$
① $\sqrt{\frac{3}{5}}$
② $\sqrt{\frac{2}{3}}$
③ $\sqrt{\frac{3}{2}}$
④ $\sqrt{\frac{5}{3}}$
⑤ $\sqrt{2}$
⑥ $\sqrt{3}$
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