福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第５問〜正四面体と球の位置関係 - 質問解決D.B.（データベース）
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福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第５問〜正四面体と球の位置関係

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問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　正四面体$OABC$に対し、三角形$ABC$の外心を$M$とし、$M$を中心として点$A,B,C$
を通る球面を$S$とする。また、$S$と辺$OA,OB,OC$との交点のうち、$A,B,C$とは異なる
ものをそれぞれ$D,E,F$とする。さらに、$S$と三角形$OAB$の共通部分として得られる
弧$DE$を考え、その弧を含む円周の中心をGとする。$\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB },\ \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ OC }$
として、以下の問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{ OD },\ \overrightarrow{ OE },\ \overrightarrow{ OF },\ \overrightarrow{ OG }を\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b },\ \overrightarrow{ c }$を用いて表せ。

(2)三角形$OAB$の面積を$S_1$、四角形$ODGE$の面積を$S_2$とするとき、$S_1:S_2$を
できるだけ簡単な整数比により表せ。
単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師： 福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　正四面体$OABC$に対し、三角形$ABC$の外心を$M$とし、$M$を中心として点$A,B,C$
を通る球面を$S$とする。また、$S$と辺$OA,OB,OC$との交点のうち、$A,B,C$とは異なる
ものをそれぞれ$D,E,F$とする。さらに、$S$と三角形$OAB$の共通部分として得られる
弧$DE$を考え、その弧を含む円周の中心をGとする。$\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB },\ \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ OC }$
として、以下の問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{ OD },\ \overrightarrow{ OE },\ \overrightarrow{ OF },\ \overrightarrow{ OG }を\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b },\ \overrightarrow{ c }$を用いて表せ。

(2)三角形$OAB$の面積を$S_1$、四角形$ODGE$の面積を$S_2$とするとき、$S_1:S_2$を
できるだけ簡単な整数比により表せ。
投稿日：2021.05.28

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指導講師： 福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1)一辺の長さが4の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をEとおく。
動点Pは$PE=\frac{1}{2}AE$を満たしながら$\triangle AED$の内部および周上を動くものとし、
$\angle PED=\theta$とおく。このとき、$\overrightarrow{ PB }・\overrightarrow{ PC }=\boxed{ア}$である。また、$\overrightarrow{ PB }・\overrightarrow{ PC }$を
$\theta$を用いて表すと$\overrightarrow{ PC }・\overrightarrow{ PD }=\boxed{イ}$、その最大値は$\boxed{ウ}$である。
$\overrightarrow{ PC }・\overrightarrow{ PD }$が最大となるときの点Pと平面ACDの距離は$\boxed{エ}$である。

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問題文全文(内容文)：
次の集合がベクトル空間の部分空間をなすか判定せよ.

(1)$W_1=\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in IR^3 | x\neq 2y\right]$

(2)$W_2=\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in IR^3 | x+2y+3z=0 \right]$

(3)$W_3=\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in IR^3 | x+2y+3z\geqq 0 \right]$
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問題文全文(内容文)：
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指導講師： 福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標空間内の4点
$O(0,0,0),A(1,1,0),B(2,1,2),P(4,0,-1)$
を考える。3点O,A,Bを通る平面を$\alpha$とし、$\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA }$,
$\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB }$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)ベクトル$\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b }$の両方に垂直であり、x成分が正であるような、大きさが1
のベクトル$\overrightarrow{ n }$を求めよ。
(2)点Pから平面$\alpha$に垂線を下ろし、その交点をQとおく。
線分PQの長さを求めよ。
(3)平面$\alpha$に関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。

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