福田の数学〜東京大学2018年理系第2問〜数列の増減とユークリッドの互除法

問題文全文(内容文)：

a_{1}, a_{2} ・ ・ ・

を

a_{n} = \frac{2_{n} +_{1} C_{n}}{n!}

(n=1,2,・・・)
で定める
(1)

n ≧ 2

とする。

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}

を規約分数

\frac{q_{n}}{p_{n}}

として表したときの分母

p_{n} ≧ 1

と分子

q_{n}

を求めよ。
(2)

a_{n}

が整数となる

n ≧ 1

をすべて求めよ。

2018東京大学理過去問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a_{1}, a_{2} ・ ・ ・

を

a_{n} = \frac{2_{n} +_{1} C_{n}}{n!}

(n=1,2,・・・)
で定める
(1)

n ≧ 2

とする。

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}

を規約分数

\frac{q_{n}}{p_{n}}

として表したときの分母

p_{n} ≧ 1

と分子

q_{n}

を求めよ。
(2)

a_{n}

が整数となる

n ≧ 1

をすべて求めよ。

2018東京大学理過去問

投稿日：2024.02.10

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

a_{n}

\frac{1}{n!} \int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

　(

n

=1,2,3,...)とおく。
(1)

a_{1}

を求めよ。
(2)不等式0≦

a_{n}

≦

\frac{e - 1}{n!}

　が成り立つことを示せ。
(3)

n

≧2のとき、

a_{n}

\frac{e}{n!}

a_{n - 1}

　であることを示せ。
(4)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 2}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}

　を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
【数Ｂ】数学的帰納法解説動画です
-----------------

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \dots + (2 n - 1)^{2} =

\frac{1}{2} n (2 n - 1) (2 n + 1)

を証明せよ

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問題文全文(内容文)：
部分分数分解の分母に二乗がある場合の解説動画です

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　(4)数列

{a_{n}}

の階差数列を

{b_{n}}

とする。

{b_{n}}

が初項2、公比

\frac{1}{3}

の等比数列と
なるとき、

{b_{n}}

の一般項は

b_{n} = オ

である。また、

{a_{n}}

も等比数列に
なるならば、

a_{1} = カ

である。このとき

{a_{n}}

の一般項は

a_{n} = キ

である。

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問

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問題文全文(内容文)：

n

を正の整数とする。

\cos n θ

は

\cos θ

の

n

次式で表されることを証明してください。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜東京大学2018年理系第2問〜数列の増減とユークリッドの互除法

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