福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第1問(2)〜位置ベクトルと面積比 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第1問(2)〜位置ベクトルと面積比

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 三角形ABC内に点Pがあり、3\ \overrightarrow{ PA }+5\ \overrightarrow{ PB }+7\ \overrightarrow{ PC }=\overrightarrow{ 0 } のとき、\\
\overrightarrow{ AP }=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\overrightarrow{ AB }+\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}\overrightarrow{ AC }\\
となるので、\triangle PAB :\triangle PBC :\triangle PCA=\boxed{\ \ サ\ \ } である。\\
\\
\boxed{\ \ サ\ \ }の解答群\\
⓪1:1:1  ①3:5:7  ②5:7:3  ③7:3:5  ④9:25:49\\
⑤25:49:9  ⑥49:9:25  ⑦\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{7}  ⑧\frac{1}{5}:\frac{1}{7}:\frac{1}{3}  ⑨\frac{1}{7}:\frac{1}{3}:\frac{1}{5}
\end{eqnarray}
単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 三角形ABC内に点Pがあり、3\ \overrightarrow{ PA }+5\ \overrightarrow{ PB }+7\ \overrightarrow{ PC }=\overrightarrow{ 0 } のとき、\\
\overrightarrow{ AP }=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\overrightarrow{ AB }+\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}\overrightarrow{ AC }\\
となるので、\triangle PAB :\triangle PBC :\triangle PCA=\boxed{\ \ サ\ \ } である。\\
\\
\boxed{\ \ サ\ \ }の解答群\\
⓪1:1:1  ①3:5:7  ②5:7:3  ③7:3:5  ④9:25:49\\
⑤25:49:9  ⑥49:9:25  ⑦\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{7}  ⑧\frac{1}{5}:\frac{1}{7}:\frac{1}{3}  ⑨\frac{1}{7}:\frac{1}{3}:\frac{1}{5}
\end{eqnarray}
投稿日:2021.09.16

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福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第5問〜ベクトルの図形への応用

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} 座標平面上で、原点Oを通り、\overrightarrow{ u }=(\cos\theta,  \sin\theta)を方向ベクトルとする直線を\\
lとおく。ただし、-\frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \frac{\pi}{2}とする。\\
\\
(1)\theta \neq \frac{\pi}{2}とする。直線lの法線ベクトルで、y成分が正であり、大きさが\\
1のベクトルを\ \overrightarrow{ n }\ とおく。点P(1,1)に対し、\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ u }+t\ \overrightarrow{ n }と表す。a=\cos\theta,\\
b=\sin\thetaとして、s,tのそれぞれをa,bについての1次式で表すと、s=\boxed{\ \ テ\ \ },\\
t=\boxed{\ \ ト\ \ }である。\\
点P(1,1)から直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をQとする。ただし、点P\\
が直線l上にあるときは、点QはPとする。以下では-\frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \frac{\pi}{2}とする。\\
\\
(2)線分PQの長さは、\theta=\boxed{\ \ ナ\ \ }のとき最大となる。\\
さらに、点R(-3,1)から直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をSとする。\\
ただし、点Rが直線l上にあるときは、点SはRとする。\\
\\
(3)線分QSを1:3に内分する点をTとおく。\thetaが-\frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \frac{\pi}{2}を満たしながら\\
動くとき、点T(x,y)が描く軌跡の方程式は\boxed{\ \ ニ\ \ }=0である。\\
\\
(4)PQ^2+RS^2の最大値は\boxed{\ \ ヌ\ \ }である。
\end{eqnarray}
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【数B】平面ベクトル:ベクトルの内積を基礎から

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単元: #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
ベクトルの内積の公式を説明する動画です
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共通テスト第2日程2021年数学詳しい解説〜共通テスト第2日程2021年2B第5問〜ベクトル

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単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large第5問}\\
Oを原点とする座標空間に2点A(-1,2,0), B(2,p,q)がある。ただし、q \gt 0とする。\\
線分ABの中点Cから直線OAに引いた垂線と直線OAの交点Dは、線分OAを9:1に内分\\
するものとする。また、点Cから直線OBに引いた垂線と直線OBの交点Eは、線分OBを3:2\\
に内分するものとする。\\
\\
(1)点Bの座標を求めよう。\\
|\overrightarrow{ OA }|^2=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\overrightarrow{ OD }=\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\overrightarrow{ OA }であることにより、\\
\overrightarrow{ CD }=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\overrightarrow{ OA }-\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\overrightarrow{ OB }と表される。\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ CD }から\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ ケ\ \ } \ldots①\\
である。同様に、\overrightarrow{ CE }を\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }を用いて表すと、\overrightarrow{ OB } \bot \overrightarrow{ CE }から\\
|\overrightarrow{ OB }|^2=20 \ldots②\\
を得る。\\
\\
①と②、およびq \gt 0から、Bの座標は\left(2, \boxed{\ \ コ\ \ }, \sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)である。\\
\\
\\
(2)3点O,A,Bの定める平面を\alphaとし、点(4, 4, -\sqrt7)をGとする。\\
また、\alpha上に点Hを\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }が成り立つようにとる。\overrightarrow{ OH }を\\
\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }を用いて表そう。\\
Hが\alpha上にあることから、実数s,tを用いて\\
\overrightarrow{ OH }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
と表される。よって\\
\overrightarrow{ GH }=\boxed{\ \ シ\ \ }\ \overrightarrow{ OG }+s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
である。これと、\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }および\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }が成り立つことから、\\
s=\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}, t=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}が得られる。ゆえに\\
\overrightarrow{ OH }=\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。また、このことから、Hは\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}であることがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}の解答群\\
⓪三角形OACの内部の点\\
①三角形OBCの内部の点\\
②点O,Cと異なる、線分OC上の点\\
③三角形OABの周上の点\\
④三角形OABの内部にも周上にもない点
\end{eqnarray}
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福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題5。ベクトルの問題。

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単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }を満たすとする。tを0 \lt t \lt 1を満たす\\
実数とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をPとする。\\
また、直線OP上に点Qをとる。\\
\\
(1)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }} である。\\
また、実数kを用いて、\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }と表せる。したがって\\
\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }  \ldots\ldots\ldots\ldots①\\
\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OP }が垂直となるのは、t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} のときである。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ } ~ \boxed{\ \ キ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪kt  ①(k-kt)  ②(kt+1)\\
③(kt-1)  ④(k-kt+1)  ⑤(k-kt-1)\\
\\
以下、t ≠\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}とし、\angle OCQが直角であるとする。\\
\\
(2)\angle OCQが直角であることにより、(1)のkは\\
k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }} \ldots②\\
となることがわかる。\\
\\
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Bを含む部分をD_1、含まない部分をD_2とする。また、平面\\
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Aを含む部分をE_1、含まない部分をE_2とする。\\
・0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}ならば、点Qは\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
・\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1ならば、点Qは\boxed{\ \ セ\ \ }。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪D_1に含まれ、かつE_1に含まれる\\
①D_1に含まれ、かつE_2に含まれる\\
②D_2に含まれ、かつE_1に含まれる\\
③D_2に含まれ、かつE_2に含まれる\\
\\
\\
(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|\overrightarrow{ OQ }|の関係について考えている。\\
t=\frac{1}{2}のとき、①と②により、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}とわかる。\\
\\
太郎:t≠\frac{1}{2}のときにも、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となる場合があるかな。\\
花子:|\overrightarrow{ OQ }|をtを用いて表して、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。\\
太郎:計算が大変そうだね。\\
花子:直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとしたら\\
|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるよ。\\
太郎:\overrightarrow{ OR }を\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OB }を用いて表すことができれば、\\
tの値が求められそうだね。\\
\\
\\
直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとすると\\
\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }\\
=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
t≠\frac{1}{2}のとき、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるtの値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}である。
\end{eqnarray}
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【数B】平面ベクトル:位置ベクトル (1)AGをbとdを用いて表せ。(2)AGの延長と辺BCの交点をHとする。このとき、Hは辺BCをどのような比に内分するか。

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単元: #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
平行四辺形ABCDにおいて、2辺AB,ADの中点をそれぞれE,Fとし、線分BFと線分CEの交点をGとする。AB=B,AD=dとするとき、次の問に答えよ。
(1)AGをbとdを用いて表せ。
(2)AGの延長と辺BCの交点をHとする。このとき、Hは辺BCをどのような比に内分するか。
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