問題文全文(内容文)：
得点1,2,...,nが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。
このとき、 2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の特典が2回目の得点以上となる確率を求めよう。

問題文全文(内容文)：
東京大学 2021年理科・文科第４問（３）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、A=(4a+1)C(4b+1),B=aCbに対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。(4a+1)C(4b+1)ｗｐ4で割った余りはaCbを4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{1}}\ 関数f(x)が\hspace{280pt}\\
f(x)=\int_0^{\pi}tf(t)\cos(x+t)dt+\frac{1}{4}\\
を満たしている。このとき、\\
A= \int_0^{\pi}tf(t)\cos tdt,\ \ \ B=\int_0^{\pi}tf(t)\sin tdt\ \ \ \ ... ①\\
とおいてf(x)をAとBで表すと、\\
f(x)=A×(\ \ \ \boxed{\ \ ア\ \ }\ \ \ )+B×(\ \ \ \boxed{\ \ イ\ \ }\ \ \ )+\frac{1}{4}\ \ \ \ ... ②\\
となる。ここで、\\
\\
\\
\int_0^{\pi}t\cos tdt=-2,\ \ \ \int_0^{\pi}t\cos^2 tdt=\boxed{\ \ ウ\ \ },\ \ \ \int_0^{\pi}t\sin tdt=\pi,\ \ \ \\
\int_0^{\pi}t\sin^2 tdt=\boxed{\ \ エ\ \ },\ \ \ \int_0^{\pi}t\cos t\sin tdt=\boxed{\ \ オ\ \ } \\
\\
\\
を用い、①に②を代入して整理すると、AとBの満たす連立方程式\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
(\ \ \ \boxed{\ \ カ\ \ }\ \ \ )A-\pi B+2=0\\
\pi A +(\ \ \ \boxed{\ \ キ\ \ }\ \ \ )B-\pi = 0\\
\end{array}
\right.\\
\\
が得られる。この連立方程式を解くと\\
A=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\pi^4-\pi^2-16},\ \ \ B=\frac{\pi (\ \ \ \boxed{\ \ ケ\ \ }\ \ \ )}{\pi^4-\pi^2-16}\\
が得られ、したがって\\
f(x)= \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\pi^4-\pi^2-16}×(\ \ \ \boxed{\ \ ア\ \ }\ \ \ )+\frac{\pi (\ \ \ \boxed{\ \ ケ\ \ }\ \ \ )}{\pi^4-\pi^2-16}×(\ \ \ \boxed{\ \ イ\ \ }\ \ \ )+\frac{1}{4}\\
となる。
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }の解答群\\
ⓐ\sin x\ \ \ ⓑ-\sin x\ \ \ ⓒ\cos x\ \ \ ⓓ-\cos x\ \ \
ⓔ\tan x\ \ \ ⓕ-\tan x\ \ \ \\
\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ },\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群\\
ⓐ\pi \ \ \ ⓑ\frac{\pi}{2}\ \ \ ⓒ\frac{\pi}{4}\ \ \ ⓓ\frac{\pi}{8}\ \ \ ⓔ-\pi \ \ \ \\
ⓕ-\frac{\pi}{2}\ \ \ ⓖ-\frac{\pi}{4}\ \ \ ⓗ-\frac{\pi}{8}\ \ \ ⓘ\pi^2 \ \ \ ⓙ\frac{\pi^2}{2}\ \ \ \\
ⓚ\frac{\pi^2}{4}\ \ \ ⓛ\frac{\pi^2}{8}\ \ \ ⓜ-\pi^2 \ \ \ ⓝ-\frac{\pi^2}{2}\ \ \ ⓞ-\frac{\pi^2}{4}\ \ \ \\
ⓟ-\frac{\pi^2}{8}\ \ \ ⓠ\frac{\pi^2+4}{16}\ \ \ ⓡ\frac{\pi^2-4}{16}\ \ \ ⓢ\frac{-\pi^2+4}{16}\ \ \ ⓣ-\frac{\pi^2+4}{16}\ \ \ \\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ },\boxed{\ \ キ\ \ },\boxed{\ \ ク\ \ },\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
ⓐ\pi^2+2\ \ \ ⓑ\pi^2-2\ \ \ ⓒ-\pi^2+2\ \ \ ⓓ-\pi^2-2\ \ \ \\
ⓔ\pi^2+4\ \ \ ⓕ\pi^2-4\ \ \ ⓖ-\pi^2+4\ \ \ ⓗ-\pi^2-4\ \ \ \\
ⓘ\pi^2+6\ \ \ ⓙ\pi^2-6\ \ \ ⓚ-\pi^2+6\ \ \ ⓛ-\pi^2-6\ \ \ \\
ⓜ\pi^2+8\ \ \ ⓝ\pi^2-8\ \ \ ⓞ-\pi^2+8\ \ \ ⓟ-\pi^2-8\ \ \ \\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
$T=\dfrac{sin\theta cos\theta}{1+sin^2\theta}$とする。
$\theta$が$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$の範囲を動くとき、$T$の最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2012年 学校法人京都大学

実数$x,y$が$x^2+xy+y^2=6$を満たす
$x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y$のとりうる値の範囲