問題文全文(内容文)：
ある地区で、新聞Aを購読している世帯は全体の50％、新聞Bを購読して
いる世帯は全体の60％、両方を購読している世帯は全体の30％、どちら
も購読していない世帯は8世帯であった。このとき、Aだけを購読している
世帯は全体の何％か。また、この地区の世帯数を求めよ。

海外旅行者100人のうち、75人がカゼ薬を、80人が胃薬を携帯して
いた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。
(1)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人
(2)カゼ薬と胃薬を両方とも携帯してない人

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじ
を引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能
性が対価を、条件付き確率を用いて考えよう。

(1)当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱Aと、当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$
である箱$B$の二つの箱の場合を考える。

$(\textrm{i})$各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$　$\cdots$①
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$　$\cdots$②
である。

$(\textrm{ii})$まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱
において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3
回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが
選ばれる事象をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
$P(A \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }},$$　P(B \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
である。$P(W)=P(A \cap W)+P(B \cap W)$であるから。3回中ちょうど1
回当たった時、選んだ箱がAである条件付き確率$P_W(A)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$と
なる。また、条件付き確率は$P_W(B)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}$となる。
(2)(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$と$P_W(B)$の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は、①の確率と②の確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
に等しい。

$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群
⓪和　①2乗の和　②3乗の和　③比　④積

(3)花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:$P_W(A)$と$P_W(B)$を求めるのに必要な$P(A \cap W)$と$P(B \cap W)$
の計算で、①,②の確率に同じ数$\displaystyle \frac{1}{2}$をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数$\displaystyle \frac{1}{3}$をかける
ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$の三つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C$のうちどれか一つの箱
をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いては
もとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。
このとき、選んだ箱がAである条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツテ\ \ }}$となる。

(4)花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は各箱で
3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$になっている
みたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくて
も、その大きさを比較することができるね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$、$\displaystyle \frac{1}{5}$である箱$D$の四つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C,D$のうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを
1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど
1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを
引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$の解答群
⓪$A,B,C,D$
①$A,B,D,C$
②$A,C,B,D$
③$A,C,D,B$
④$A,D,B,C$
⑤$B,A,C,D$
⑥$B,A,D,C$
⑦$B,C,A,D$
⑧$B,C,D,A$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
I　複数の玉が入った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、$n$ を自然数として、以下の問いに答えよ。

(1)

袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $p_n$ とすると、次式が成り立つ。

$p_2=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\qquad
p_3=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$

(2)

袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の玉を袋に戻す試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $P_n$ とすると、次式が成り立つ。

$P_2=\dfrac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}},\qquad
P_3=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$

$n$ 回目の試行開始時点で袋に入っている玉の個数 $M_n$ は
$M_n=n+\boxed{\text{ス}}$
であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数を $R_n$ は
$R_n=M_n\times P_n$
と表される。

$n$ 回目の試行において黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が試行前と比べて
$\boxed{\text{セ}}$
個増えるため、$n+1$ 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は

$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$

となる。したがって、

$P_{n+1}
=\dfrac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}P_n
+\dfrac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}$

が成り立つ。このことから、

$(n+3)(n+\boxed{\text{ツ}})
\left(
P_n-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}
\right)$

が $n$ に依らず一定となることがわかり、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P_n
=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$

と求められる。

問題文全文(内容文)：
【数学A】重複を許して取る組合せ

問題文全文(内容文)：
点Pが次のルール (i), (i) に従って数直線上を移動するものとする。
(i)$1,2,3,4,5,6$の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数をkとする.
(ii)Pの座標aについて, $a\gt 0$ならば座標$a-k$の点へ移動し, $a\gt 0$ならば座標$a+k$の点へ移動する.
(iii)原点に移動したら終了し, そうでなければ(i) を繰り返す。

(2) Pの座標が$1,2,... 6$ のいずれかであるとき,
ちょうど n回サイコロを振って
原点で終了する確率を求めよ．