福田の数学〜大阪大学2022年理系第５問〜媒介変数表示のグラフで囲まれた面積

問題文全文(内容文)：
座標平面において、tを媒介変数として

x = e^{t} \cos t + e^{π}, y = e^{t} \sin t (0 ≦ t ≦ π)

と表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022大阪大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、tを媒介変数として

x = e^{t} \cos t + e^{π}, y = e^{t} \sin t (0 ≦ t ≦ π)

と表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022大阪大学理系過去問

投稿日：2022.04.22

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

媒介変数表示

x

\sin t

y

\cos (t - \frac{π}{6}) \sin t

　(0≦

t

≦

π

)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)

\frac{d x}{d t}

=0 または

\frac{d y}{d t}

=0 となる

t

の値を求めよ。
(2)Cの概形を

x y

平面上に描け。
(3)Cの

y

≦0 の部分と

x

軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

グラフを描こう(7)

\begin{array}{r} {\begin{cases} x = t^{2} + 1 \\ y = 2 - t - t^{2} \end{cases} (- 2 ≦ t ≦ 1) \end{array}

のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
極方程式で表されたxy平面上の曲線

r = 1 + \cos θ (0 ≦ θ ≦ 2 π)

をCとする。
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、

\frac{d x}{d θ} = 0

となる点、および

\frac{d y}{d θ} = 0

となる点の直交座標を求めよ。
(2)

lim_{θ \to π} \frac{d y}{d x}

を求めよ。
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。
(4)曲線Cの長さを求めよ。

2016神戸大学理系過去問

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指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
点(1,9)を通り、y軸と平行でなく放物線

y = x^{2}

とのすべての交点のx座標とy座標がともに整数となる直線は何本あるか？
2024早稲田大学本庄高等学院

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福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第４問〜媒介変数で表された極方程式

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え
る。平面上を運動する点Pの極座標

(r, θ)

が、時刻

t ≧ 0

の関数として、

r = 1 + t, θ = \log (1 + t)

で与えられるとする。時刻

t = 0

にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで
にPが描く軌跡をCとする。
(1)

t > 0

において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。
(3)Cの長さを求めよ。
(4)Cを座標平面上に図示せよ。
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022上智大学理系過去問

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