数学「大学入試良問集」【16−2 複素数平面と三角形の形との関係】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：
複素数平面上に三角形

A B C

があり、その頂点

A, B, C

を表す複素数をそれぞれ

z_{1}, z_{2}, z_{3}

とする。
複素数

ω

に対して、

z_{1} = ω z_{3}, z_{2} = ω z_{1}, z_{3} = ω z_{2}

が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）

1 + ω + ω^{2}

の値を求めよ。
（2）三角形

A B C

はどんな形の三角形か。
（3）

z = z_{1} + 2 z_{2} + 3 z_{3}

の表す点を

D

とすると、三角形

O B D

はどんな形の三角形か。ただし、

O

は原点である。

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上に三角形

A B C

があり、その頂点

A, B, C

を表す複素数をそれぞれ

z_{1}, z_{2}, z_{3}

とする。
複素数

ω

に対して、

z_{1} = ω z_{3}, z_{2} = ω z_{1}, z_{3} = ω z_{2}

が成り立つとき、次の各問いに答えよ。
（1）

1 + ω + ω^{2}

の値を求めよ。
（2）三角形

A B C

はどんな形の三角形か。
（3）

z = z_{1} + 2 z_{2} + 3 z_{3}

の表す点を

D

とすると、三角形

O B D

はどんな形の三角形か。ただし、

O

は原点である。

投稿日：2021.11.15

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の3点O(0),A(2-i),Bについて､次の条件を満たしているとき､
点Bを表す複素数を求めよ｡
(1)△OABが正三角形となる｡(2)△OABがBを直角の頂点とする二等辺三角形になる｡

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問題文全文(内容文)：
問題３　３つの単位ベクトル

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

が2

\vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c} = \vec{0}

を満たすとき、

\vec{a}

と

\vec{c}

の内積

\vec{a} ・ \vec{c}

を求めなさい。
ただし、

\vec{0}

は零ベクトルを表します。

問題４　複素数

z ＝ － 2 － i

について、次の問いに答えなさい。ただし、iは虚数単位を表します。
　　　①　zの絶対値を求めなさい。
　　　②　zの偏角を

θ

とします。このとき、

s i n 4 θ

の値を求めなさい。

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問題文全文(内容文)：

| z | = 3

かつ

| z - 2 | = 4

を満たす複素数

z

について､次の値を求めよ｡
(1)

z \bar{z}

(2)

z + \bar{z}

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問題文全文(内容文)：

3

実数が書かれた3枚のカード

0

1

\sqrt{3}

から無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数nに対して、この操作をn回繰り返して得られるn個の複素数の積を

z_{n}

で表す。
(1)|

z_{n}

|＜5となる確率

P_{n}

を求めよ。
(2)

z_{n}^{2}

が実数となる確率

Q_{n}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

Z = \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}, Z^{50}

を求めよ。

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