問題文全文(内容文)：
第1項から第10項までの和が4、第1項から第20項までの和が24である等比数列について、第1項から第40項までの和を求めよ

問題文全文(内容文)：
次の和S[n]を求めよ。
S[n]=1／(1×5)+1／(5×9)+1／(9×13)+...+1／(4n-3)(4n+1)

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
初項3、交差pの等差数列を\left\{a_n\right\}とし、初項3、公比rの等比数列を\left\{b_n\right\}と\\
する。ただし、p \ne 0かつr \ne 0とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。\\
a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0　(n=1,2,3,\ldots)\cdots①\\
\\
(1)pとrの値を求めよう。自然数nについて、a_n,a_{n+1},b_nはそれぞれ\\
a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p　\cdots②\\
a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np　\cdots③\\
b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}\\
と表される。r \ne 0により、すべての自然数nについて、b_n \ne 0となる。\\
\frac{b_{n+1}}{b_n}=rであることから、①の両辺をb_nで割ることにより\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)　\cdots④\\
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると\\
\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)+\boxed{\ \ キ\ \ }　\cdots⑤\\
となる。⑤が全てのnで成り立つことおよびp \ne 0により、r=\boxed{\ \ オ\ \ }を得る。\\
さらに、このことから、p=\boxed{\ \ ク\ \ }を得る。\\
以上から、すべての自然数nについて、a_nとb_nが正であることもわかる。\\
\\
(2)p=\boxed{\ \ ク\ \ },　r=\boxed{\ \ オ\ \ }であるから、\left\{a_n\right\},　\left\{b_n\right\}の初項から第n項\\
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。\\
\sum_{k=1}^na_k=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)\\
\sum_{k=1}^nb_k=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)\\
\\
(3)数列\left\{a_n\right\}に対して、初項3の数列\left\{c_n\right\}が次を満たすとする。\\
a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0　(n=1,2,3,\ldots)\cdots⑥\\
a_nが正であることから、⑥を変形して、c_{n+1}=\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_nを得る。\\
さらに、p=\boxed{\ \ ク\ \ }であることから、数列\left\{c_n\right\}は\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}ことがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}の解答群\\
⓪すべての項が同じ値をとる数列である\\
①公差が0でない等差数列である\\
②公比が1より大きい等比数列である\\
③公比が1より小さい等比数列である\\
④等差数列でも等比数列でもない\\
\\
(4)q,uは定数でq \ne 0とする。数列\left\{b_n\right\}に対して、初項3の数列\left\{d_n\right\}が\\
次を満たすとする。\\
d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0　(n=1,2,3,\ldots)\cdots⑦\\
r=\boxed{\ \ オ\ \ }であることから、⑦を変形して、d_{n+1}=\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)\\
を得る。したがって、数列\left\{d_n\right\}が、公比が0より大きく1より小さい\\
等比数列となるための必要十分条件は、q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }かつu=\boxed{\ \ テ\ \ }\\
である。\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
和歌山大学過去問題
$a_1=2\sin^2\frac{θ}{2}$,$a_2=2\cosθ\sin^2\frac{θ}{2}$
$2(cos^2\frac{θ}{2})a_{n+1}=a_{n+2}+(\cosθ)a_n$
$a_n$を$\cosθ$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
数列$\{a_{n}\}$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k(n=1,2,3,・・・)$とし、さらに$S_0=0$と定める。$\{a_n\}$は$S_n=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}(n+3)a_{n+1}$(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)$a_1=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$である。また、$n \geqq 1$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから、関係式$(n+\fbox{ウ})a_{n+1}=(n+\fbox{エ})a_n (n=1,2,3,・・・)$・・・(*)が得られる。数列$\{{b_n}\}$を$b_n=n(n+1)(n+2)a_n (n=1,2,3,・・・)$で定めると、$b_1=\fbox{オ}$であり、$n \geqq 1$に対して$b_{n+1}=\fbox{カ}b_n$が成り立つ。ゆえに$a_n=\dfrac{\fbox{キ}}{n(n+1)(n+2)}$が得られる。
次に、数列$\{{T_n}\}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{(k+3)(k+4)}(n=1,2,3,・・・)$で定める。
(2)(*)より導かれる関係式
$\dfrac{a_k}{k+3}-\dfrac{a_{k+1}}{k+4}=\dfrac{\fbox{ク}a_k}{(k+3)(k+4)} (k=1,2,3,・・・)$
を用いると
$T_n=A-\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}(n+p)(n+q)(n+r)(n+s)}(n=1,2,3,・・・)$
が得られる。ただしここに$A=\fbox{サ}{シス}$であり、$p \lt q\lt r \lt s$として$p=\fbox{セ},q=\fbox{ソ},r=\fbox{タ},s=\fbox{チ}$である。
(3)不等式$|T_n-A| \lt\dfrac{1}{10000(n+1)(n+2)}$を満たす最小の自然数$nはn=\fbox{ツテ}$である。