問題文全文(内容文)：
$f(x)=\sin^2x+2\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\cos\ t\ dx$を満たす$f(x)$を求めよ。

出典：2016年山形大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-1}^{1} x \sin n \pi \ x\ dx$
$n$：自然数

出典：2014年大阪医科大学

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{2}^{4} \displaystyle \frac{2}{x^2-1} dx$

出典：2024年茨城大学後期

問題文全文(内容文)：
【東北大学 2024】
$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C:x^2+y^2=1$および円板$D:x²+y²≦1$を考える。$D$を底面とし点$P(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする。$A(0,-1,0),B(0,1,0)$とする。$xyz$空間内の平面$H:z=x$を考える。すなわち、$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$AB$をともに含む平面である。$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする。$\displaystyle -\frac{π}{2}≦θ≦\frac{π}{2}$を満たす実数$θ$に対し、円$C$上の点$Q(cosθ,sinθ,0)$をとり、線分$PQ$と$E$の共有点を$R$とする。
(1) 線分$PR$の長さを$r(θ)$とおく。$r(θ)$を$θ$を用いて表せ。
(2)円錐$K$の側面のうち、曲線$E$の点$A$から点$R$までを結ぶ部分、線分$PA$,および線分$PR$により囲まれた部分の面積を$S(θ)$とおく。$θ$と実数$h$が条件$\displaystyle 0≦θ＜θ+h≦\frac{π}{2}$を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle \frac{h\{{r(θ)}\}^2}{2\sqrt{2}}≦S(θ+h)-S(θ)≦\frac{h\{{r(θ+h)\}}^2}{2\sqrt{2}}$
(3) 円錐$K$の側面のうち、円$C$の$x≧0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく。$T$を求めよ。必要であれば$\displaystyle tan\frac{θ}{2}=u$とおく置換積分を用いてもよい。

問題文全文(内容文)：
tを実数とする。次の条件(★)を満たす$\triangle ABC$を考える。
(★)$AC=t,\ BC=1$を満たし、$\angle BAC$の2等分線と辺BCの交点をDとおくと、
$\cos\angle DAC=\frac{\sqrt3}{3}$である。
(1)$\cos\angle DAC=\frac{\boxed{カ}}{\boxed{キ}}$である。
(2)tの取りうる範囲を$t_1\lt t \lt t_2$とするとき、$t_1=\boxed{あ},t_2=\boxed{い}$である。

$\boxed{あ},\ \boxed{い}$の選択肢
$(\textrm{a})0\ \ \ (\textrm{b})\frac{1}{3}\ \ \ (\textrm{c})\frac{1}{2}\ \ \ (\textrm{d})\frac{\sqrt3}{3}\ \ \ (\textrm{e})\frac{2}{3}$
$ (\textrm{f})1\ \ \ (\textrm{g})\frac{2\sqrt3}{2}\ \ \ (\textrm{h})\sqrt3\ \ \ (\textrm{i})2\ \ \ (\textrm{j})3$

(3)辺ABの長さをtの式で表すと$AB=\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}t+$
$\sqrt{1+\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}t^2}$である。

(4)$\triangle ABC$の面積は$t=\frac{\sqrt{\boxed{シ}}}{\boxed{ス}}$
で最大値$\frac{\sqrt{\boxed{セ}}}{\boxed{ソ}}$をとる。

(5)$t_1,t_2$を(2)で定めた値とする。
$t_1 \lt t \lt t_2$の範囲で、xyz-座標空間内の平面z=t上に、条件(★)を満たす
$\triangle ABC$が、$B(0,0,t),C(0,1,t)$を満たし、Aのx座標が正であるように
おかれている。まｇた、$B_1(0,0,t_1),C_1(0,1,t_1),B_2(0,0,t_2),C_2(0,1,t_2)$と
おく。
$\triangle ABC$を$t_1 \lt t \lt t_2$の範囲で動かしたときに通過してできる図形に線分$B_1C_1$、
線分$B_2C_2$を付け加えた立体の体積は$\frac{\sqrt{\boxed{タ}}}{\boxed{チ}}$である。