問題文全文(内容文)：
$3S_n=a_n+6n+1$のとき${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{ax-1}{x-a}}}$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ (1)0≦$x$≦${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$≦$b$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
以下、$b$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$≦$b$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x(\cos x{)}^{n-1}}{(b+1-b\cos x{)}^n}dx}$　(n=1,2,3,...)で定義する。
(2)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}^n{a}_n}$=0　が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$となる。
(5)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{1}{1\mathrm{・}2}-\frac{1}{2\mathrm{・}{2}^2}+\frac{1}{3\mathrm{・}{2}^3}-...+\frac{(-1{)}^{n+1}}{n\mathrm{・}{2}^n}\}}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_n$とすると、$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}, p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_n$とすると、次式が成り立つ。
$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}, p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_n\mathrm{は}{M}_n=n+\boxed{\text{ス}}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_n\mathrm{は}{R}_n=M_n\times P_n$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\boxed{\text{セ}}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$となる。したがって、
$P_{n+1}={\displaystyle \frac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}}\times P_n+{\displaystyle \frac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)\times (n+\boxed{\text{ツ}})\times (P_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})$がnに依らず一定となる事が分かり、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
数列{$x_n$},{$y_n$}を$x_1=y_1=1,x_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{y}_n,y_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}_n+{\displaystyle \frac{5}{6}}{y}_n$で定めるとき、
(1)$x_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta (x_n+\alpha y_n)$を満たす$\alpha ,\beta$の組を2組求めよう。
(2)数列{$x_n$},{$y_n$}の一般項を求めよう。
(3)数列{$x_n$},{$y_n$}の極限を求めよう。