大学入試問題#568「素直に正面突破」東京帝国大学(1968) #広義積分

大学入試問題#568「素直に正面突破」　東京帝国大学(1968)　#広義積分

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\infty} \frac{x e^{- x}}{(1 + e^{- x})^{2}} d x

出典：1938年東京帝国大学　入試問題

チャプター：

00:00 イントロ（問題紹介）
00:13 本編スタート
07:20 作成した解答①
07:30 作成した解答②
07:40 エンディング（楽曲提供：兄いえてぃさん）

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\infty} \frac{x e^{- x}}{(1 + e^{- x})^{2}} d x

出典：1938年東京帝国大学　入試問題

投稿日：2023.06.18

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

複素数平面上における図形

C_{1}

C_{2}

, ...,

C_{n}

, ...は次の条件(A)と(B)を満たすとする。ただし、

i

は虚数単位とする。
(A)

C_{1}

は原点Oを中心とする半径2の円である。
(B)自然数nに対して、zが

C_{n}

上を動くとき2w=z+1+

i

で定まるwの描く図形が

C_{n + 1}

である。
(1)すべての自然数nに対して、

C_{n}

は円であることを示し、その中心を表す複素数

α_{n}

と半径

r_{n}

を求めよ。
(2)

C_{n}

上の点とOとの距離の最小値を

d_{n}

とする。このとき、

d_{n}

を求めよ。
また、

lim_{n \to \infty} d_{n}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
数学

III

平均値の定理(4)
微分可能な関数

f (x)

が

f (1) = 1, 0 < f^{'} (x) ≦ \frac{1}{2}

を満たしている。

a_{n + 1} = f (a_{n})

で定義される数列

{a_{n}}

について、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 1

であることを示せ。

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　極限(5)

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{_{2 n} P_{n}}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} \frac{1 - \cos 3 x}{x^{2}}

を求めよ

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

a

b

を正の実数、

p

を

a

より小さい正の実数とし、すべての実数

x

について

\int_{p}^{f (x)} \frac{a}{u (a - u)} d u

b x

,　0＜

f (x)

＜

a

かつ

f (0)

p

を満たす関数

f (x)

を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1)

f (x)

を

a

b

p

を用いて表せ。
(2)

f (- 1)

\frac{1}{2}

f (1)

=1,　

f (3)

\frac{3}{2}

のとき、

a

b

p

を求めよ。
(3)(2)のとき、

lim_{x \to - \infty} f (x)

lim_{x \to \infty} f (x)

　を求めよ。

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