問題文全文(内容文)：
(1)正六角形の6個の頂点のうち3点を結んで三角形を作るとき、
　 三角形は何個作れるか。

(2)6本の平行線と、それらに交わる7本の平行線によってできる
　 平行四辺形は何個か。

(3)7人を次のようにする方法は何通りあるか。
　 (a)部屋A、B、Cに2人ずつ入れ、部屋Dに1人入れる。
　 (b)2人,2人,2人,1人の4組に分ける

問題文全文(内容文)：
正四面体ABCDの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、
隣の3頂点のいずれかに等しい確率$\frac{a}{3}$で移るか、もとの頂点に確率1-aで
留まる。初め頂点Aにいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率を$p_n$とする。
ただし、$0 \lt a \lt 1$とし、nは自然数とする。

(1)数列$\left\{p_n\right\}$の漸化式を求めよ。
(2)確率$p_n$を求めよ。

2017北海道大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　場合の数(7)　円順列
8人を図のように(1)円形のテーブル　(2)正方形のテーブル　(3)長方形のテーブルに並べる方法は
それぞれ何通りあるか。
(※図は動画参照)

問題文全文(内容文)：
第3問
番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け方(以下、球の塗り方)を考える。
【条件】
・それぞれの球を、用意した5色(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか1色で塗る。
・1本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。
・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。
例えば図A(※動画参照)では、三つの球が2本のひもでつながれている。この三つの球を塗るとき、球1の塗り方が5通りあり、球1を塗った後、球2の塗り方は4通りあり、さらに球3の塗り方は4通りある。したがって、球の塗り方の総数は80である。
(1)図B(※動画参照)において、球の塗り方は$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$通りある。
(2)図C(※動画参照)において、球の塗り方は$\boxed{\ \ エオ\ \ }$通りある。
(3)図D(※動画参照)における球の塗り方のうち、赤をちょうど2回使う塗り方は$\boxed{\ \ カキ\ \ }$通りある。
(4)図E(※動画参照)における球の塗り方のうち、赤をちょうど3回使い、かつ青をちょうど2回使う塗り方は$\boxed{\ \ クケ\ \ }$通りある。
(5)図Dにおいて、球の塗り方の総数を求める。
そのために、次の構想を立てる。
【構想】
図Dと図Fを比較する。

図Fでは球3と球4が同色になる球の塗り方が可能であるため、図Dよりも図Fの球の塗り方の総数の方が大きい。
図Fにおける球の塗り方は、図Bにおける球の塗り方と同じであるため、全部で$\boxed{\ \ アイウ\ \ }$通りある。そのうち球3と球4が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として、後の⓪~④のうち、正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$である。したがって、図Dにおける球の塗り方は$\boxed{\ \ サシス\ \ }$通りある。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
(解答群は動画参照)
(6)図Gにおいて、球の塗り方は$\boxed{\ \ セソタチ\ \ }$通りある。

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
I　複数の玉が入った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、$n$ を自然数として、以下の問いに答えよ。

(1)

袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $p_n$ とすると、次式が成り立つ。

$p_2=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\qquad
p_3=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$

(2)

袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の玉を袋に戻す試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $P_n$ とすると、次式が成り立つ。

$P_2=\dfrac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}},\qquad
P_3=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$

$n$ 回目の試行開始時点で袋に入っている玉の個数 $M_n$ は
$M_n=n+\boxed{\text{ス}}$
であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数を $R_n$ は
$R_n=M_n\times P_n$
と表される。

$n$ 回目の試行において黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が試行前と比べて
$\boxed{\text{セ}}$
個増えるため、$n+1$ 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は

$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$

となる。したがって、

$P_{n+1}
=\dfrac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}P_n
+\dfrac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}$

が成り立つ。このことから、

$(n+3)(n+\boxed{\text{ツ}})
\left(
P_n-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}
\right)$

が $n$ に依らず一定となることがわかり、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P_n
=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$

と求められる。