問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$　$n$を自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が
$2n+1$回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は
$n=2$の場合の例である。例$\text{a}$では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を
終了した。例$\text{b}$では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

$\begin{array}{cccccc}& 1\mathrm{回}\mathrm{目}& 2\mathrm{回}\mathrm{目}& 3\mathrm{回}\mathrm{目}& 4\mathrm{回}\mathrm{目}& 5\mathrm{回}\mathrm{目}\\ \mathrm{例}\text{a}& ⚃& ⚅& ⚀& ⚁& ⚀\\ \mathrm{例}\text{b}& ⚂& ⚅& ⚄\end{array}$

この実験において、$A$を「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数$k$に対し
$B_k$を「5未満の目が出た回数がちょうど$k$である」事象とする。一般に、事象Cの
確率を$P(C),C$が起こったときの事象$D$が起こる条件付き確率を$P_C(D)$と表す。

(1)$n=1$のとき、$P(B_1)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。

(2)$n=2$のとき、$P_{B_2}(A)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。
以下、$n\geqq 1$とする。

(3)$P_{B_k}(A)=1$となる$k$の値の範囲は$0\leqq k\leqq K_n$と表すことができる。この$K_n$を
$n$の式で表すと$K_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。

(4)$p_k=P(A\cap B_k)$とおく。$0\leqq k\leqq K_n$のとき、$p_k$を求めると$p_k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。
また、$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{K_n}k{p}_k}$　とおくと$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
四面体ABCD において，辺AB と辺CDが垂直ならば，頂点Aから平面BCDに下ろした垂線AHと，頂点Bから平面CDAに下ろした垂線BKは交わることを示せ。ただし，HとB，KとAはそれぞれ一致しないものとする。

直方体 ABCD-EFGHにおいて，
辺AB，AD，AEの長さをそれぞれa，b，cとする。
また，頂点Aから直線FHに下ろした垂線をAK とする。
このとき，次の問いに答えよ。
(1) EK⊥FHであることを証明せよ。
(2) 垂線AKの長さを求めよ。

問題文全文(内容文)：
x,y,z：素数
$z=80x^2+2xy-y^2$を満たす(x,y,z)の組のうち、
zが2番目に小さくなるものを求めよ
(x,y,z)=▢

2022慶應義塾志木高等学校

問題文全文(内容文)：
整数$(x,y)$を求めよ.
$x^{2}y+7x-2xy=15$

問題文全文(内容文)：
'98一橋大学過去問題
すべての自然数nに対して$5^n+an+b$が16の倍数となるような
16以下の自然数a,bを求めよ。