整数の性質 - 質問解決D.B.(データベース)

整数の性質

【高校数学】整数の性質 方程式の問題ではこうやって範囲を絞り込もう!

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
方程式$xy+yz+zx=xyz$を満たす自然数
$x,y,z$の組をすべて求めよ。
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【高校数学】整数の性質 約数の総和に関する問題はこうやって解く!

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
$N=p^2q$($p,q$は異なる素数)と表される数で
約数の総和が$2N$に等しいものをすべて求めよ。
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福田のおもしろ数学055〜自然数を連続整数の和で表す方法〜偶奇性に注目しよう

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
2024をいくつかの連続する自然数の和で表せ。
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福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(1)〜6番目に大きい約数と6乗根に最も近い自然数

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
( 1 ) 2024 の約数の中で 1 番大きいものは 2024 だが、 6 番目に大きいものは ア である。 2024 の 6 乗根に最も近い自然数は イ である。
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福田のおもしろ数学052〜余りの問題はこれができなきゃダメ〜余りを求める

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$1111^{ 2018 }$ を 11111 で割った余りを求めてください。
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福田のおもしろ数学031〜おつりなしでは買えない値段の種類〜6円玉と7円玉だけしかない国のお話

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
6円玉と7円玉しか使えないとき、おつり無しでは買えない値段は何種類あるか?
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整数問題だよ

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
n²+n+144

の下2桁が00になる3桁の自然数nの最大値最小値を求めよ
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ウィルソンの定理

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
pは素数

(p-1)!+1はpで割り切れることを示せ
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素数か?

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
30!+1は素数か??
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効率よく解を絞り込め

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
9a²-4b²=2160
を満たす整数、a,bの組をすべて求めよ
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福田の数学〜積が等しくなる魔方陣を作ろう〜慶應義塾大学2023年環境情報学部第3問(1)〜積が等しくなる魔方陣

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
※図は動画内
(1)図 1 の 9 つのマスに、縦、横、斜めにならんだ 3 つの数の積がいずれも等しくなるように、相異なる正の整数を 1 つずっ割り当てる。ただし、 4 と 9 は図 1 のように割り振られており、$\fbox{ア}く\fbox{イ}$となっているものとする。$\fbox{ア},\fbox{イ}\fbox{ウ}$に入る数を求めなさい。
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福田の数学〜互除法の操作回数を最大にするには〜慶應義塾大学2023年環境情報学部第1問(1)〜ユークリッドの互除法

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
${\large\boxed{ 1 }}$(1)正の整数$\textit{m}$と$\textit{n}$の最大公約数を効率よく求めるには、$\textit{m}$を$\textit{n}$で割った時の余りを$\textit{r}$としたとき、$\textit{m}$と$\textit{n}$の最大公約数と$\textit{n}$と$\textit{r}$の最大公約数が等しいことを用いるとよい。たとえば、455と208の場合、次のように余りを求める計算を3回行うことで最大公約数13を求めることができる。\begin{eqnarray}
455÷208=2・・・39 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 208÷39=5・・・13\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 39÷13=3・・・0\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
このように余りを求める計算をして最大公約数を求める方法をユークリッドの互除法という。\\
\textrm{(a)}20711と15151の最大公約数は{\boxed{\ ア \ }}である。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
\textrm{(b)}100以下の正の整数mとn(ただしm \gt nとする)の最大公約数を\ \ \ \ \ \\\
ユークリッドの互除法を用いて求めるとき、\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
余りを求める計算の回数が最も多く必要になるのは\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
m={\boxed{\ イ \ }},n={\boxed{\ ウ \ }}のときである。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
\end{eqnarray}
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福田の数学〜まったく手が出ないときの対処法〜慶應義塾大学2023年総合政策学部第4問前編〜格子点を内包する軌道の個数

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
※図は動画内
平面上でx座標もy座標も整数である点を格子点という。 m とnを正の整数とするとき、xy平面上に点 $P_{ij}$(i = 1 , 2 ,・・・,j=1,2,・・・,n)を格子点(i,j)に置く。次にこれらの点を囲むようにA ( 0.5 , 0.5 ), B ( m + 0.5 , 0.5 ), C ( m + 0.5 ,n+ 0.5 ),D ( 0.5 ,n+ 0.5 )を頂点とする長方形を描く。
長方形ABCD の内側に以下のように「軌道」を作図する。
l. $P_{ij}$の外周の点(i= 1 またはi= m またはj= 1 またはj=nの点)を選び、その点から 0.5 の距離だけはなれた長方形 ABCD 上の点を軌道の起点とし、基点の置かれた辺と 45°の角度をなす直線の軌道を長方形 ABCD 内に描く。
2. 軌道が長方形 ABCD の別の辺にぶつかった場合、軌道を直角に曲げる。この操作を繰り返すと、軌道はいずれ起点に戻るので、そこで描くのを停止すると、一筆書きで閉じた 1 つの軌道が得られる。
3.ステップ 1 と 2 で描いた軌道の内側にすべての点 $P_{i,j}$が含まれているようなら、作図を終了する。軌道の外にある点が残っている場合、まだ軌道の外にある外周の点 $P_{i,j}$ を選び、ステップ 1 以降の操作を繰り返す。すべての点 $P_{i,j}$を軌道内に納めるために必要な最小の軌道の数を T(m,n)と書くことにする。右の図は T(4,2)= 2 であることを示している。(異なる軌道を破線と点線で描き分けた)
(l) T ( 4 , 4 )は$\fbox{ア}$である。
( 2 ) T ( 15 , 5 )は$\fbox{イ}$である。
( 3 ) T ( 2023 , 1015 )は$\fbox{ウ}$である。
( 4 )下の 12 個の T ( m ,n)の値の最大値は$\fbox{エ}$であり、最大値を取るものが$\fbox{オ}$個ある。T(2,1), T(3, 2 ), T(8, 5 ), T(6, 3 ), T(9, 6 ), T ( 24 , 15 ), T ( 63 , 39 ), T ( 165 ,102 ),T ( 699 , 267 ), T ( 2961 ,1131), T ( 7752 , 4791) , T ( 32838 , 12543 )
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福田の数学〜約数の個数から元の数を特定する難問〜慶應義塾大学2023年総合政策学部第1問後編〜約数の個数と素因数分解

単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
整数nの正の約数の個数をd(n)と書くことにする。たとえば、 10 の正の約数は1 , 2 , 5 , 10 であるから d(10)= 4 である。
( 1 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=5となる数は$\fbox{ア}$個ある。
( 2 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=15となる数は$\fbox{イ}$個ある。
( 3 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n) が最大となるのは$n=\fbox{ウ}$のときである。
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福田の数学〜約数の個数から元の数を特定する難問〜慶應義塾大学2023年総合政策学部第1問前編〜約数の個数と素因数分解

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
整数nの正の約数の個数をd(n)と書くことにする。たとえば、 10 の正の約数は1 , 2 , 5 , 10 であるから d(10)= 4 である。
( 1 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=5となる数は$\fbox{ア}$個ある。
( 2 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n)=15となる数は$\fbox{イ}$個ある。
( 3 ) 2023 以下の正の整数nの中でd(n) が最大となるのは$n=\fbox{ウ}$のときである。
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整数問題 あれを使えばスッキリ解決

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単元: #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
a,bが互いに素ならば、abとa²-b²も互いに素であることを示せ
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kとk+1ということは・・・【京都大学】【数学 入試問題】

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単元: #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師: 数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文):
nとkを自然数とし、整数$x^{n}$を整数(x-k)(x-k-1)で割ったあまりをax+bとする。
(1)aとbは整数であることを示せ
(2)aとbをともに割り切る素数は存在しないことを示せ
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藤田医科大 整数の基本問題

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
藤田医科大学みらい入試2024年

a,b,cは整数
$a^3+b^3-a^2b-ab^2-ac^2-bc^2=36$
を満たすa,b,cを求めよ
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投稿した動画とほぼ同じ問題が2024年度入試で出たよ!藤田医科大

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
x+y+z<10
を満たす自然数x,y,zの組をすべて求めよ
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整数の性質 4STEP数A 310,311,312 座標の考え方【ゆう☆たろうがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
310 平らな広場の地点Oを原点として,東の方向をx軸の正の向き,北の方向をy軸の正の向きとする座標平面を考える。また,1mを1の長さとする。
地点A,Bの座標をそれぞれ(-4,1),(3,-5)とする。
(1)地点Aから東に5m進み,南に7m進んだ位置にある点の座標を答えよ。
(2)地点Bから西に4m進み,北に1m進んだ位置にある点の座標を答えよ。

311 平らな広場の地点Oを原点として,東の方向をx軸の正の向き,北の方向をy軸の正の向き,真上の方向をz軸の正の向きとする座標空間を考える。また,1mを1の長さとする。この広場の上空に気球Pが浮かんでいる。レーザー距離計で,次のように測定した。ただし,気球Pは1つの点とみなす。
[1]地点Oから東へ15m,北へ1m進んだ地点A(15,1,0)から,Pまでの距離を測ると41m
[2]地点Oから北へ21m進んだ地点B(0,21,0)から,Pまでの距離を測ると56m
[3]地点Oから南へ11m進んだ地点C(0,-11,0)から,Pまでの距離を測ると56m
このとき,気球Pの位置を求めよ。

312 座標空間において,A(3,2,0),B(3,4,-2),C(1,2,-2)を頂点とする三角形は,正三角形であることを示せ。
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整数の性質 4STEP数A 304,305,306 進数応用【ゆう☆たろうがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
304 3桁の自然数Nを7進法で表すと3桁の数a0b(7)となり,5進法で表すと逆の並びの3桁の数b0a(5)となるという。a,bを求めよ。また,Nを10進法で表せ。

305 自然数Nを5進法と7進法で表すと,それぞれ3桁の数abc(5),cab(7)になるという。a,b,cを求めよ。また,Nを10進法で表せ。

306 5種類の数字0,1,2,3,4を用いて表される自然数を,次のように小さい方から順に並べる。
1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,……
(1) 2020番目の数をいえ。
(2) 2020は何番目の数か。
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整数の基本問題 島根大

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#島根大学
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$
\begin{eqnarray}
&&2023島根大学過去問\\
&&Z^2-Zが6で割り切れるようなすべての奇数Zを整数nを用いて表せ

\end{eqnarray}
$
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整数の性質 4STEP数A 301,302,303 n進法【ゆう☆たろうがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
次の数を[ ]内の表し方で表せ。
(1)1100101(2) [3進法]
(2)12121(3) [2進法]
(3)1234(5) [2進法]

nは2以上の自然数とする。10進法の数72をn進法で表すと132(n)となる。nを求めよ。

次の個数を10進法の数で答えよ。
(1)2進法で表したとき,6桁(この6は10進法の数)となるような数
(2)5進法で表したとき,4桁(この4は10進法の数)となるような数
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整数の性質 4STEP数A 288,289,290 ユークリッドの互除法の利用【ゆう☆たろうがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
(1)3で割ると1余り,7で割ると3余るような自然数のうち,3桁で最大のものと最小のものを求めよ。
(2)8で割ると4余り,13で割ると9余るような自然数のうち,4桁で最大のものと最小のものを求めよ。

次の等式を満たす自然数x,yの組をすべて求めよ。
(1)7x+2y=41
(2)3x+4y=36
(3)4x+5y=100

所持金660円で1個50円の商品Aと1個80円の商品Bを買う。所持金をちょうど使い切るとき,商品Aと商品Bをそれぞれ何個買えばよいか。ただし,消費税は考えないものとする。
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整数問題 2通りの解法で

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単元: #数A#数Ⅱ#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#指数関数と対数関数#指数関数#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
$n$ 自然数
$7^{2n-1}+9^{2n-1}+47^{2n-1}$
は63の倍数であることを示せ。
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整数の性質 4STEP数A 326 自然数の2乗 【ユースケ・マセマティックがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
nは自然数とする。


$\sqrt{n^2+56}$が自然数となるnをすべて求めよ。
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整数の性質 4STEP数A 322,323,324,325 2次の不定方程式 【ユースケ・マセマティックがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
次の等式を満たす整数x、yの組をすべて答えよ。
(1)$2xy - 2x - 5y = 7$
(2)$\dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{y} = 1 $ただしx、yは自然数とする
(3)$3x² -xy - 2y² - 13x - 7y = 15$
(4)$x² - 4y² = -12$ ただしx、yは自然数とする
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【数A】互除法 よりも mod ! ②演習編

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
73x + 45y =1 の特殊解を求めよ。
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【数A】互除法 よりも mod ! ①導入編

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
12x +7Y =1 の特殊解を互除法とmodで計算
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整数の性質 4STEP数A 282,283 ユークリッドの互除法2【ゆう☆たろうがていねいに解説】

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単元: #数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#数学(高校生)
教材: #4STEP(4ステップ)数学#4STEP数学Ⅰ+AのB問題解説(新課程2022年以降)#整数の性質
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
次の条件を満たす自然数nをすべて求めよ。
(1)14n+52と4n+17の最大公約数が5になるような50以下のn
(2)11n+39と6n+20の最大公約数が7になるような100以下のn

nは自然数とする。n²+7n+36とn+5の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ。
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