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第2問
[1]太郎さんは総務省が公表している2020年の家計調査の結果を用いて、地域による食文化の違いについて考えている。家計調査における調査地点は、都道府県庁所在市および政令指定都市(都道府県庁所在市を除く)であり、合計52市である。家計調査の結果の中でも、スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の1世帯当たり年間支出金額(以下、支出金額、単位は円)」を分析することにした。以下においては、52市の調理食品の支出金額をデータとして用いる。
太郎さんは調理食品として、最初にうなぎのかば焼き(以下、かば焼き)に着目し、図1のように(※動画参照)52市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した。
ただし、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。
なお、以下の図や表については、総務省のWebページをもとに作成している。
(1)図1から次のことが読み取れる。
・第1四分位数が含まれる階級は$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$である。
・第3四分位数が含まれる階級は$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
・四分位範囲は$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$、$\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪1000以上1400未満 ①1400以上1800未満
②1800以上2200未満 ③2200以上2600未満
④2600以上3000未満 ⑤3000以上3400未満
⑥3400以上3800未満 ⑦3800以上4200未満
⑧4200以上4600未満 ⑨4600以上5000未満

$\boxed{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$の解答群
⓪800より小さい
①800より大きく1600より小さい
②1600より大きく2400より小さい
③2400より大きく3200より小さい
④3200より大きく4000より小さい
⑤4000より大きい

(2)太郎さんは、東西での地域による食文化の違いを調べるために、52市を東側の地域E(19市)と西側の地域W(33市)の二つに分けて考えることにした。
(i)地域Eと地域Wについて、かば焼きの支出金額の箱ひげ図を、図2,図3のように(※動画参照)それぞれ作成した。
かば焼きの支出金額について、図2と図3から読み取れることとして、次の⓪~③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪地域Eにおいて、小さい方から5番目は2000以下である。
①地域Eと地域Wの範囲は等しい。
②中央値は、地域Eより地域Wの方が大きい。
③2600未満の市の割合は、地域Eより地域Wの方が大きい。
(ii)太郎さんは、地域Eと地域Wのデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い、
それぞれの分散を考えることにした。地域Eにおけるかば焼きの支出金額の分散は、地域Eのそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差の$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪2乗を合計した値
①絶対値を合計した値
②2乗を合計して地域Eのの市の数で割った値
③絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値
④2乗を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの
⑤絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの

(3)太郎さんは、(2)で考えた地域Eにおける、やきとりの支出金額についても調べることにした。
ここでは地域Eにおいて、やきとりの支出金額が増加すれば、かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え、まず図4(※動画参照)のように、地域Eにおける、やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した。そして、相関係数を計算するために、表1(※動画参照)のように平均値、分散、標準偏差および共分散を算出した。ただし、共分散は地域Eのそれぞれの市における、やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である。
表1を用いると、地域Eにおける、やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数は$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ カ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪~⑨のうちから一つ選べ。
⓪-0.62 ①-0.50②-0.37③-0.19
④-0.02⑤0.02⑥0.19⑦0.37
⑧0.50⑨0.62

[2]太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1(※動画参照)のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図を描き、ボールがリング入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
【仮定】
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A(3.8, 3),右端を点B(4.2, 3)とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M(4, 3)を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点$P_0$(0, 3)にあるものとする。また、$P_0$,Mを通る、上に凸の放物線を$C_1$とし、Pは$C_1$上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点$H_0$(0, 2)にあるものとする。また、$H_0$, Mを通る、上に凸の放物線を$C_2$とし、Hは$C_2$上を動くものとする。
・放物線$C_1$や$C_2$に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
(1)放物線$C_1$の方程式における$x^2$の係数をaとする。放物線$C_1$の方程式は
y=a$x^2$-$\boxed{\ \ キ\ \ }$ax+$\boxed{\ \ ク\ \ }$
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
-$\boxed{\ \ ケ\ \ }$a+$\boxed{\ \ コ\ \ }$
である。

放物線$C_2$の方程式における$x^2$の係数をpとする。放物線$C_2$の方程式は
y=p$\left\{x-\left(2-\frac{1}{8p}\right)\right\}^2-\frac{(16p-1)^2}{64p}+2$
と表すことができる。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、次の⓪~③のうち、正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなる時の地上の位置」は、常に一致する。
①プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、常にMのx座標に近い。
②花子選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、常にMのx座標に近い。
③プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方がMのx座標に近いときもあれば、花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、Mのx座標に近いときもある。
(2)二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図2(※動画参照)のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線$C_1$と$C_2$がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べってみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD=$\frac{\sqrt 3}{15}$である。
よって、放物線$C_1$がDを通るとき、$C_1$の方程式は
y=-$\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ス\ \ }}}{\boxed{\ \ セソ\ \ }}\left(x^2-\boxed{\ \ キ\ \ }x\right)+\boxed{\ \ ク\ \ }$
となる。

2023共通テスト過去問

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共通テスト2024の数学ⅠA第2問(2)2次関数を徹底解説します

2024共通テスト過去問

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第3問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N(m, $\sigma^2$)に従うとする。
(i)この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがm g以上である確率P(X≧m)は
P(X≧m)=P$\left(\frac{X-m}{\sigma}\geqq \boxed{\ \ ア\ \ }\right)$=$\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
である。
(ii)母集団から無作為に抽出された大きさnの標本$X_1$, $X_2$, ..., $X_n$の標本平均を$\bar{X}$とする。$\bar{X}$の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ
E($\bar{X}$)=$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$,　σ($\bar{X}$)=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
となる。
n=400,　標本平均が30.0g,　標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90%の信頼区間を次の方針で求めよう。
方針：Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数として、P($-z_0 \leqq Z \leqq z_0$)=0.901 となる$z_0$を正規分布表から求める。この$z_0$を用いるとmの信頼度90.1%の信頼区間が求められるが、これを信頼度90%の信頼区間とみなして考える。
方針において、$z_0$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$.$\boxed{\ \ キク\ \ }$である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。n=400は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90%の信頼区間は$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪σ　①$\sigma^2$　②$\frac{\sigma}{\sqrt n}$　③$\frac{\sigma^2}{n}$
④m　⑤2m　⑥$m^2$　⑦$\sqrt m$　
⑧$\frac{\sigma}{n}$　⑨$n\sigma　$ⓐ$nm$　ⓑ$\frac{m}{n}$
$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪28.6≦m≦31.4　①28.7≦m≦31.3　②28.9≦m≦31.1　
③29.6≦m≦30.4　④29.7≦m≦30.3　⑤29.9≦m≦30.1
(2)(1)の確率変数Xにおいて、m=30.0, σ=3.6とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分数を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。
ピーマン分類法：無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
(i)ピーマンを無作為に50個抽出した時、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率$p_0$を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は$\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_0$とすると、$U_0$は二項分布$B\left(50, \frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$に従うので
$p_0$=${}_{50}C_{\boxed{シス}}×\left(\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)^{\boxed{シス}}×\left(1-\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)^{50-\boxed{シス}}$
となる。
$p_0$を計算すると、$p_0$=0.1122...となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。
(ii)ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。
kを自然数とし、ピーマンを無作為に(50+k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_k$とすると、$U_k$は二項分布$B\left(50+k, \frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$に従う。
(50+k)は十分に大きいので、$U_k$は近似的に正規分布$N\left(\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}, \boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\right)$に従い、$Y=\frac{U_k-\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}}}$とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を$p_k$とすると
$p_k$=$P(25 \leqq U_k \leqq 25+k)$=$P\left(-\frac{\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\sqrt{50+k}} \leqq Y \leqq \frac{\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\sqrt{50+k}}\right)$
となる。
$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$=a, $\sqrt{50+k}$=$\beta$とおく。
$p_k$≧0.95になるような$\frac{\alpha}{\beta}$について、正規分布表から$\frac{\alpha}{\beta}$≧1.96を満たせばよいことが分かる。ここでは
$\frac{\alpha}{\beta}$≧2　...①
を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、$\alpha^2$≧4$\beta^2$を満たす最小のkを$k_0$とすると、$k_0$=$\boxed{\ \ チツ\ \ }$であることがわかる。ただし、$\boxed{\ \ チツ\ \ }$の計算においては、$\sqrt{51}=7.14$を用いてもよい。
したがって、少なくとも(50+$\boxed{\ \ チツ\ \ }$)個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。
$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$～$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪k　①2k　②3k　③$\frac{50+k}{2}$
④$\frac{25+k}{2}$　⑤25+k　⑥$\frac{\sqrt{50+k}}{2}$　⑦$\frac{50+k}{4}$

2023共通テスト過去問

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共通テスト出題予想2024【地歴公民・数学・英語・国語】