問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
初項$2p^2$、公比pの等比数列{$a_n$}がある。ただし、pは実数の定数とする。無限 等比級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$が収束し、その和が1であるとき、次の問に答えよ。
(1)p の値を求めよ。
(2)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の体積を$V_n$とする。無限 級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V_n$は収束するか。収束するときはその和を求め、発散するとき はそのことを示せ。
(3)母線の長さが1、高さが$a_n$の円錐の側面積を$T_n$とす る。無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}T_n$は収束するか。収束するときはその和を求め、発散 するときはそのことを示せ。

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) $(x+2)(2x^2-4x+1)$を展開せよ。
(2) $a^2+3ab-6b-4$を因数分解せよ。
(3) $\dfrac{1}{\sqrt5+1} + \dfrac{1}{\sqrt5+3}$ を計算せよ。
(4) $90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$において、$\sin\theta=\dfrac14$のとき、$\cos\theta$の値を求めよ。
(5) 不等式 $\dfrac{x+2}{4} \geqq \dfrac{3x-5}2$を解け。
(6) 次のデータがある。 $2,3,4,4,5,6,7,9$
このデータの中央値と第3四分位数を求めよ。
(7) 円と2本の直線が図のように交わっているとき、$x$の値を求めよ。

大問2-1：図形と計量
三角形$\rm ABC$があり、$\rm AB=1, BC=\sqrt7, \cos\angle ABC=\dfrac{5}{2\sqrt7}$ である。
(1) 辺$\rm CA$の長さを求めよ。
(2) $\cos\angle \rm BAC$の値を求めよ。また、三角形$\rm ABC$の面積を求めよ。
(3) $\rm \angle BAC$を5等分する4本の直線が辺$\rm BC$と交わる4個の点のうち、頂点$\rm B$に最も近い点を$\rm D$とする。線分$\rm AD$の長さを求めよ

大問2-2：場合の数
$\rm A,A,B,C,D,E$の6個の文字を横1列に並べる。
(1) 並べ方は全部で何通りあるか。
(2) $\rm A$が左端にないような並べ方は何通りあるか。
(3) $\rm A$が左端になく、かつEが右端にないような並べ方は何通りあるか。

大問3：2次関数
$a, k$を実数とする。2つの関数
$f(x)=x^2+(2-2a)x-6a+3$
$g(x)=2x^2-2ax-\dfrac{a^2}{2}+2a+k$
に対して、$f(x)$の最小値を$M$, $g(x)$の最小値を$m$とする。
(1) $a=0$のときの$M$の値を求めよ。
(2) $m$を$a, k$を用いて表せ。
(3) $M$と$m$の小さくない方を$a$の関数とみなし、$h(a)$とする。すなわち、
$M\geqq m$のとき、$h(a)=M$
$M\leqq m$のとき、$h(a)=m$
(i) $k=-1$のとき, $h(a)=-\dfrac14$となるような$a$の値を求めよ。
(ii) $h(a)$が次の(条件)を満たすような$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
(条件) 異なる3個以上の$a$の値に対して $h(a)$ が同じ値をとることがある。


大問4：複素数と方程式
$x$の2次方程式 $x^2-x+2=0$ がある。
(1) (*)を解け。
(2) 3次式 $x^3+2x^2+7$ を2次式 $x^2-x+2$ で割ったときの商と余りを求めよ。
(3) (*)の2つの解を$\alpha ,\beta$とする。
(i) $(\alpha+1)(\beta+1)$ の値と $\alpha^3+\beta^3$ の値を求めよ。
(ii) $a, b$を実数の定数とする、$x$の2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の2つの解が
$(\alpha+1)^3(\beta+1)^3$ となるような$a,b$の値の組 $(a, b)$を求めよ。
(4) $p$を(*)の解とし、
$A=(p^3+2p-2+7)^6+9(p^3+2p^2+7)^3+81$ とする、$A$の値を求めよ。

大問5：確率
4個のサイコロ$A,B,C,D$がある。
(1) $A,B$の2個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b$とするとき, $ab=30$となる確率を求めよ。
(2) $A,B,C$の3個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c$とする。
(i) $abc=30$となる確率と,$abc=180$となる確率をそれぞれ求めよ。
(ii) $abc$が30の倍数となる確率を求めよ。
(3) $A,B,C,D$の4個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c,d$とする。
(i) $a,b,c,d$の中に、5と6がともに含まれる確率を求めよ。
(ii) $abcd$が30の倍数となる確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)を次の式で定める。ただし、kは正の定数である。$f(x)=kx^3-4x^2+x+k^2$ 原点をOとする座標平面上において、曲線$C：y=f(x)$とy軸の交点をAとし、Aにお けるCの接線と垂直でAを通る直線をlとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)Cとlが A以外に2点で交わるとする。このとき、kの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、CとlのA以外の2交点をP、Qとし、三角形OPQの面積をSとする。kが(2)で求めた範 囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。