単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#２次関数#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
第2問\ [1] p,qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
$x^2+px+q=0 \ldots①$
$x^2+qx+p=0 \ldots②$
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。
(1)$p=4,q=-4$のとき、$n=\boxed{ア}$である。
また、$p=1,q=-2$のとき、$n=\boxed{イ}$である。
(2)$p=-6$のとき、$n=3$になる場合を考える。
花子:例えば、①と②を共に満たす実数xがあるときは$n=3$に
なりそうだね。
太郎:それを$\alpha$としたら、$\alpha^2-6\alpha+q=0と\alpha^2+q\alpha-6=0$が
成り立つよ。
花子:なるほど。それならば、$\alpha^2$を消去すれば、$\alpha$の値が求められそうだね。
太郎:確かに$\alpha$の値が求まるけど、実際に$n=3$となっているか
どうかの確認が必要だね。
花子:これ以外にも$n=3$となる場合がありそうだね。
$n=3$となるqの値は
$q=\boxed{ウ}, \boxed{エ}$
である。ただし、$\boxed{ウ} \lt \boxed{エ}$とする。
$p=-6$に固定したまま、qの値だけを変化させる。
$y=x^2-6x+q \ldots③$
$y=x^2+qx-6 \ldots④$
(1)この二つのグラフについて、$q=1$のときのグラフを点線で、
qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。
このとき、③のグラフの移動の様子を示すと$\boxed{オ}$となり、
④のグラフの移動の様子を示すと$\boxed{カ}$となる。
$\boxed{オ}, \boxed{カ}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑦
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
なお、x軸とy軸は省略しているが、x軸は右方向、
y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
(※選択肢は動画参照)
(4)$\boxed{ウ} \lt q \lt \boxed{エ}$とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、
Uの部分集合A,Bを
$A=\left\{x\ |\ x^2-6x+q \lt 0 \right\}$
$B=\left\{x\ |\ x^2+qx-6 \lt 0 \right\}$
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合を$\bar{ X }$と表す。このとき、
次のことが成り立つ。
・$x \in A$は、$x \in B$であるための$\boxed{キ}$。
・$x \in B$は、$x \in \bar{ A }$であるための$\boxed{ク}$。
$\boxed{キ}, \boxed{ク}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪必要条件であるが、十分条件ではない
①十分条件であるが、必要条件ではない
②必要十分条件である
③必要条件でも十分条件でもない
2022共通テスト数学過去問
この動画を見る
