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$(x^3-\frac{1}{2}x+1)(\frac{1}{3}{x}^3-x^2+5)$を展開したときの$x^3$の係数は？

東海高等学校

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(1)$5a^2{b}^2-25a^{3}b$
(2)$x^2+x(y+z)$
(3)$a(a-3b)-7b(3b-a)$
(4)$x^2+16x+64$
(5)$27a^2+18a+3$
(6)$4-4x+x^2$
(7)${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-x+1$
(8)$4a^2-b^2$
(9)$9a^2-9b^2$
(10)$5a^3-20a{b}^2$

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$\boxed{{\displaystyle 1}}$

(1)${\displaystyle \frac{4x-y}{9}}-{\displaystyle \frac{5x-4y}{12}}$を計算せよ.
(2)$xy-3y-3x+9$を因数分解せよ.
(3)
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ 2ax+by=16\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}ax+2y=8\\ -3x+2y=3\end{array}\end{array}$
が同じ解をもつとき,$a,b$の値を求めよ.

$\boxed{{\displaystyle 2}}$

図のように,関数$y=x^2$のグラフと直線$y=-2x+8$との交点を$A,B,$直線$AB$の中点を$M$とするとき,次の問いに答えよ.
ただし,点$A$のx座標は負とする.
(1)点$A$の座標を求めよ.
(2)直線$OM$の式を求めよ.
(3)$\mathrm{△}OCM$をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.

$\boxed{{\displaystyle 3}}$

図のように,点$O$を中心とし,線分$AB$を直径とする半径6の円があり,点$C$は線分$OB$の中点である,2点$D,E$は直径$AB$に対して同じ側の円周上にあり,$AB$と$CD$は直角,$AB$と$OE$は直角となっている.
また,線分$AD$と線分$OE$の交点を点$F$とする.
このとき,次の問いに答えよ.
(1)$CD$の長さを求めよ.
(2)$\mathrm{△}AEF$の面積を求めよ.
(3)$AF:AD$の比を求めよ.また,$\mathrm{△}DEF$の面積を求めよ.

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中学校、高等学校までに学ぶ「因数分解の公式」一覧の解説
①$ma\pm m\ell =m(a\pm \ell )$
②$x^2\pm 2xy+y^2=(x\pm y{)}^2$
③$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
④$x^2+(a+\ell )x+a\ell =(x+a)(x+\ell )$
⑤$ac{x}^2+(ad+\ell c)x+\ell d=(ax+\ell )(cx+d)$
⑥$x^3\pm y^3=(x+y)(x^2\mp xy+y^2)$
⑦$a^2+{\ell }^2+c^2+2a\ell +2\ell c+2ca=(a+\ell +c{)}^2$
⑧$a^3\pm 3a^2\ell +3a{\ell }^2\pm {\ell }^3=(a\pm \ell {)}^3$
⑨$a^3+{\ell }^3+c^3-3a\ell c=(a+\ell +c)(a^2+{\ell }^2{c}^2-\ell c-ca-a\ell )$