問題文全文(内容文)：
共通テスト(プレテスト)【数学ⅠA】の解説動画です

問題文全文(内容文)：
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
$x=a_n$を自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、$y=b_n$をそのときの歩
行者の位置とする。

(1) 花子さんと太郎さんは、数列$\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$の一般項を求めるために、歩行者
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標
平面上の点(x,y)で表すことにした。
$a_1=2,b_1=2$により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき
の時刻と位置を表す点の座標は$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })$である。よって
$a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },　b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }$
である。

花子:数列$\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$の一般項について考える前に、
$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })$の求め方について整理してみようか。
太郎:花子さんはどうやって求めたの？
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと
を利用したよ。
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を
計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標
は$(a_n,0)$であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
$(a_n,b_n)$である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、$a_n,b_n$を用いて、
$(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })$と表せる。

$\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$a_n$　①$b_n$　②$2a_n$
③$a_n+b_n$　④$2b_n$　⑤$3a_n$
⑥$2a_n+b_n$　⑦$a_n+2b_n$　⑧$3b_n$

以上から、数列$\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$について、自然数nに対して、関係式
$a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ }　\ldots①$
$b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots②$
が成り立つことが分かる。まず、$b_1=2$と②から
$b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)$
を得る。この結果と、$a_1=2$および１から
$a_n=\boxed{\ \ コ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)$
がわかる。

$\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$3^{n-1}+1$　①$\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}$
②$3^{n-1}+n$　③$\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}$
④$3^{n-1}+n^2$　⑤$\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}$
⑥$2・3^{n-1}$　⑦$\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}$
⑧$2・3^{n-1}+n-1$　⑨$\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}$
ⓐ$2・3^{n-1}+n^2-1$　ⓑ$\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}$

(2)歩行者が$y=300$の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく
回数は$\boxed{\ \ サ\ \ }$回である。また、$\boxed{\ \ サ\ \ }$回目に自転車が歩行者に追いつく
時刻は、$x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
第3問\ 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントは
全て異なるとする。
プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順:外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、
各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の
プレゼントを受け取る。

交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。
そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
(1)2人または3人で交換会を開く場合を考える。
$(\textrm{i})$2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は
$\boxed{ア}$通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
$(\textrm{ii})$3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は
$\boxed{エ}$通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$である。
$(\textrm{iii})$3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{キク}}{\boxed{ケコ}}$である。

(2)4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を
次の構想に基づいて求めてみよう。
構想:1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。
そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は
$\boxed{サ}$通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は$\boxed{シ}$通りある。
このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が
終了しない受け取り方の総数は$\boxed{スセ}$である。
したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}$である。

(3)5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{チツ}}{\boxed{テト}}$である。
\(4)A,B,C,D,Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA,B,C,Dがそれぞれ自分以外
の人の持参したプレゼントを受け取った時、その回で交換会が終了する
条件付き確率は$\frac{\boxed{ナニ}}{\boxed{ヌネ}}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第2問}$
[1]　花子さんと太郎さんのクラスでは、文化祭でたこ焼き店を出店することになった。
二人は1皿当たりの価格をいくらにするかを検討している。次の表は、過去の文化祭で
のたこ焼き店の売り上げデータから、1皿あたりの価格と売り上げ数の関係を
まとめたものである。

$\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline 1皿あたりの価格(円) & 200 & 250 & 300\\
\hline 売り上げ数(皿) & 200 & 150 & 100\\\hline
\end{array}}$

(1)まず、二人は、上の表から、1皿あたりの価格が50円上がると売り上げ数が
50皿減ると考えて、売り上げ数が1皿あたりの価格の1次関数で表される
と仮定した。このとき、1皿あたりの価格を$x$円とおくと、売り上げ数は
$\boxed{\ \ アイウ\ \ }-x$　$\cdots$①

と表される。

(2)次に、二人は、利益の求め方について考えた。
花子:利益は、売り上げ金額から必要な経費を引けば求められるよ。
太郎:売上金額は、1皿あたりの価格と売り上げ数の積で求まるね。
花子:必要な経費は、たこ焼き用器具の賃貸料と材料費の合計だね。
材料費は、売り上げ数と1皿あたりの材料費の積になるね。

二人は、次の三つの条件のもとで、1皿あたりの価格xを用いて
利益を表すことにした。

(条件1)　1皿あたりの価格がx円のときの売り上げ数として①を用いる。
(条件2)　材料は、①により得られる売り上げ数に必要な分量だけ仕入れる。
(条件3)　1皿あたりの材料費は160円である。たこ焼き用器具の賃貸料は
6000円である。材料費とたこ焼き用器具の賃貸料以外の経費はない。

利益は$y$円とおく。$y$を$x$の式で表すと
$y=-x^2+\boxed{\ \ エオカ\ \ }x$$-\boxed{\ \ キ\ \ }×10000$　$\cdots$②
である。

(3)太郎さんは利益を最大にしたいと考えた。②を用いて考えると、利益
が最大になるのは1個あたりの価格が$\boxed{\ \ クケコ\ \ }$円のときであり、
そのときの利益は$\boxed{\ \ サシスセ\ \ }$円である。

(4)花子さんは、利益を7500円以上となるようにしつつ、できるだけ安い
価格で提供したいと考えた。②を用いて考えると、利益が7500円以上となる
1皿あたりの価格のうち、最も安い価格は$\boxed{\ \ ソタチ\ \ }$円となる。

[2]　総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており、
その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている。また、外務省では旅券
(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している。加えて
文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している。
そこで、47都道府県の、人口1万人あたりの外国人人口(以下、外国人数)、
人口1万人当たりの小学校児童数(以下、小学生数)、また、日本人1万人あたり
の旅券を取得した人数(以下、旅券取得者数)を、それぞれ計算した。
次の$(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})$は図1(動画参照)の散布図に関する記述
である。

$(\textrm{I})$小学生数の四分位範囲は、外国人数の四分位範囲より大きい。
$(\textrm{II})$旅券取得者数の範囲は、外国人数の範囲より大きい。
$(\textrm{III})$旅券取得者数と小学生数の相関係数は、旅券取得者数と外国人数
の相関係数より大きい。

$(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})$の正誤の組み合わせとして正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$である。
$(\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群は動画参照)


(2)一般に、度数分布表
$\tiny{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
階級値 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_k & 計\\\hline
度数 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & \cdots & f_k & n\\\hline
\end{array}}$

が与えられていて、各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に
等しいと仮定すると、平均値$\bar{x}$は
$\bar{x}=\displaystyle \frac{1}{n}(x_1f_1+x_2f_2$$+x_3f_3+x_4f_4+\cdots+x_kf_k)$

で求めることができる。さらに階級の幅が一定で、その値が$h$のときは
$x_2=x_1+h,　x_3=x_1+2h,　$$x_4=x_1+3h,　\cdots,　$$x_k=x_1+(k-1)h$
に注意すると
$\bar{x}=\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}$
と変形できる。

$\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～④のうちから一つ
選べ。
⓪$\displaystyle \frac{x_1}{n}(f_1+f_2+f_3+f_4+\cdots+f_k)$
①$\displaystyle \frac{h}{n}(f_1+2f_2+3f_3$$+4f_4+\cdots+kf_k)$
②$x_1+\displaystyle \frac{h}{n}(f_2+f_3+f_4+\cdots+f_k)$
③$x_1+\displaystyle \frac{h}{n}(f_2+2f_3$$+3f_4+\cdots+(k-1)f_k)$
④$\displaystyle \frac{1}{2}(f_1+f_k)x_1-\displaystyle \frac{1}{2}(f_1+kf_k)$

図2は、2008年における47都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである。
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を
含まない。

図2(※動画参照)のヒストグラムに関して、各階級に含まれるデータの値が
すべてその階級値に等しいと仮定する。このとき、平均値$\bar{x}$は小数第1位を
四捨五入すると$\boxed{\ \ トナニ\ \ }$である。

(3)一般に、度数分布表
$\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
階級値 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_k & 計\\\hline
度数 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & \cdots & f_k & n\\\hline
\end{array}}$

が与えられていて、各階級に含まれるデータの値が全てその階級値に
等しいと仮定すると、分散$s^2$は
$s^2=\displaystyle \frac{1}{n}\left\{(x_1-\bar{x})^2f_1+(x_2-\bar{x})^2f_2+\cdots+(x_k-\bar{x})^2f_k\right\}$
で求めることができる。さらにs^2は
$s^2=\displaystyle \frac{1}{n} \left\{(x_1^2f_1+x_2^2f_2+\cdots+x_k^2f_k)-2\bar{x}× \boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}+(\bar{x})^2×\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}\right\}$

と変形できるので
$s^2=\displaystyle \frac{1}{n}(x_1^2f_1$$+x_2^2f_2+\cdots+x_k^2f_k)-\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$　$\cdots$①
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
⓪$n$
①$n^2$
②$\bar{x}$
③$n\bar{x}$
④$2n\bar{x}$
⑤$n^2\bar{x}$
⑥$(\bar{x})^2$
⑦$n(\bar{x})^2$
⑧$2n(\bar{x})^2$
⑨$3n(\bar{x})^2$

図3(※動画参照)は図2を再掲したヒストグラムである。


図3のヒストグラムに関して、各階級に含まれるデータの値が全て
その階級値に等しいと仮定すると、平均値$\bar{x}$は(2)で求めた$\boxed{\ \ トナニ\ \ }$
である。$\boxed{\ \ トナニ\ \ }$の値と式①を用いると、分散$s^2$は$\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$については、最も近いものを、次の⓪～⑦のうちから一つ選べ。
⓪$3900$　①$4900$　②$5900$　③$6900$
④$7900$　⑤$8900$　⑥$9900$　⑦$10900$

2021共通テスト過去問

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