問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
$O$を原点とする座標空間に2点$A(-1,2,0),　B(2,p,q)$がある。ただし、$q \gt 0$とする。
線分$AB$の中点$C$から直線$OA$に引いた垂線と直線$OA$の交点$D$は、線分$OA$を9:1に内分
するものとする。また、点$C$から直線$OB$に引いた垂線と直線$OB$の交点Eは、線分$OB$を$3:2$
に内分するものとする。

(1)点Bの座標を求めよう。
$|\overrightarrow{ OA }|^2=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\overrightarrow{ OD }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\overrightarrow{ OA }$であることにより、
$\overrightarrow{ CD }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\overrightarrow{ OA }-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\overrightarrow{ OB }$と表される。$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ CD }$から
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ ケ\ \ }$　$\ldots$①
である。同様に、$\overrightarrow{ CE }$を$\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }$を用いて表すと、$\overrightarrow{ OB } \bot \overrightarrow{ CE }$から
$|\overrightarrow{ OB }|^2=20$　$\ldots$②
を得る。

①と②、および$q \gt 0$から、$B$の座標は$\left(2,　\boxed{\ \ コ\ \ },　\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$である。


(2)3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とし、点$(4,　4,　-\sqrt7)$を$G$とする。
また、$\alpha$上に点$H$を$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }$が成り立つようにとる。$\overrightarrow{ OH }$を
$\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }$を用いて表そう。
$H$が$\alpha$上にあることから、実数$s,t$を用いて
$\overrightarrow{ OH }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$
と表される。よって
$\overrightarrow{ GH }=\boxed{\ \ シ\ \ }\ \overrightarrow{ OG }+s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$
である。これと、$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }$および$\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }$が成り立つことから、
$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }},　t=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}$が得られる。ゆえに
$\overrightarrow{ OH }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}\ \overrightarrow{ OB }$
となる。また、このことから、$H$は$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$であることがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪三角形$OAC$の内部の点
①三角形$OBC$の内部の点
②点$O,C$と異なる、線分$OC$上の点
③三角形$OAB$の周上の点
④三角形$OAB$の内部にも周上にもない点

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
(1)
ストライドを$x$、ピッチを$z$とおく。
ピッチは1秒あたりの少数、ストライドは1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、$x$と$z$を用いて[ア](m/秒)と表される。
これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は
タイム=$\displaystyle \frac{100}{[ア]}$

と表されるので、[ア]が最大になるときにタイムが最もよくなる。
ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。

[ア]を以下から選べ。
⓪$x+z$
①$z-x$
②$xz$

③$\displaystyle \frac{x+z}{[2]}$

④$\displaystyle \frac{z-x}{[2]}$

⑤$\displaystyle \frac{xz}{[2]}$


(2)
男子短距離100m走の選手である太郎さんは、①に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は、太郎さんが練習で100mを3回走ったときのストライドとピッチのデータである。
-----------------
　　　　　　1回目　2回目　3回目
ストライド　 2.05 2.10 2.15
ピッチ 4,70 4.60 4.50
-----------------
また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。
太郎さんの場合、ストライドの最大値は2.40、ピッチの最大値は4.80である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが0.05大きくなるとピッチが0.1小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関数としてなされると仮定した。
このとき、ピッチ$z$はストライド$x$を用いて
$z=[イウ]x+\displaystyle \frac{[エオ]}{5}$　と表される。

②が太郎さんのストライドの最大値2.40とピッチの最大値4.80まで成り立つと仮定すると、$x$の値の範囲は次のようになる。
$[カ].[キク]\leqq x \leqq 2.40$

$y=[ア]$とおく。
②を$y=[ア]$に代入することにより、$y$と$x$の関数として表すことができる。
太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、$[カ].[キク]\leqq x \leqq 2.40$の範囲で$y$の値を最大にする$x$の値を見つければよい。
このとき、$y$の値が最大になるのは$x=[ケ].[コサ]$のときである。
よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが[ケ].[コサ]のときであり、このとき、ピッチは[シ].[スセ]である。
このときの太郎さんのタイムは①により[ソ]である。

[ソ]については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから、一つ選べ。
⓪9.68
①9.97
②10.09
③10.33
④10.42
⑤10.55

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,　$$a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{\ \ ア\ \ },　\boxed{\ \ イ\ \ },　\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ })$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{\ \ オ\ \ }$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{\ \ カ\ \ }$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{\ \ キ\ \ }$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{\ \ クケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ },　\boxed{\ \ サ\ \ },　\boxed{\ \ シ\ \ })$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{\ \ オ\ \ }$個であるものの個数は$\boxed{\ \ ス\ \ }$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{\ \ セソタ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第1問(2)整数の除法を徹底解説します

2024共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
(1)168を素因数分解すると 168=(ア)^(イ)×3×(ウ) である。
よって、168の正の約数の個数は(エオ)個であり、AB=168かつ3≦A＜Bを満たすA,Bの組は、全部で(カ)個である。
(2)正の整数nは正の約数の個数が6個であり、正の約数の総和が168であるとする。このような正の整数nのうち、異なる２つの素因数を持つものを求めよう。
nは異なる素数p,qを用いて、n=p^(キ)・q と表せる。
このとき、nの正の約数の総和は［ク］であるから、p=(ケ) であり、n=(コサ) である。

［ク］の解答群
0: (p+p²)q
1: (1+p+p²)q
2: (p+p²)(1+q)
3: (1+p+p²)(1+q)
4: (p+p²+p³)q
5: (1+p+p²+p³)q
6: (p+p²+p³)(1+q)
7: (1+p+p²+p³)(1+q)

(3)正の整数mは正の約数の個数が12個であり、正の約数の総和が624であるとする。このような正の整数mのうち、異なる3つの素因数を持つものは m=(シスセ) である。