問題文全文(内容文)：
aは$0 \lt a \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin(\frac{\pi}{4}+ax)\cos(\frac{\pi}{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*)　　$\int_0^1f(x)dx=1$
(2)$0 \leqq b \lt c \leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\\
[試行]n個の数$1,2,\ldots\ldots,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\ldots\ldots,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、

(**)$\lim_{k \to \infty}\frac{S_{n,k,i}}{k}=\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\lim_{k \to \infty}A_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。

2022東京工業大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{2+\sin\ x}{1+\cos\ x}dx$

出典：2012年横浜国立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$x \gt y$とする
$x+y=6,\ xy=4$のとき
$\displaystyle \frac{\sqrt{ x }-\sqrt{ y }}{\sqrt{ x }+\sqrt{ y }}$の値を求めよ。

出典：1963年名古屋大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$ x \gt 0$を定義域とする関数f(x)が次の等式
$f(x)=\int_1^e\log(xt) f(t)dt+x$
を満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\int_1^e\log x dx$を求めよ。
(2)$\int_1^e(\log x)^2 dx$ を求めよ。
(3)$\int_1^ex\log x dx$を求めよ。
(4)$f(x)$を求めよ。

2022青山学院大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分と不等式の証明)

①$0≦x≦1$のとき、$1-x^2≦1-x^4≦1$が成り立つことを示せ。
②不等式$\frac{\pi}{4} \lt \int_0^1\sqrt{1-x^4}dx \lt 1$を示せ。