問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) x⁴-5x²+4を因数分解せよ。
(2) 多項式P(x)をx-2で割ると、商がx²+2x+4で、余りが3となるとき、P(x)を求めよ。
(3) kを実数の定数とする。2次関数 y=x²+4x+k の最小値が3であるとき、 kの値を求めよ。
(4) iを虚数単位とする。 i³(2+i) を a+bi (a, bは実数)の形で表せ。
(5) AB=5、BC=6、0°＜∠ABC＜90°,面積が6√6である三角形ABCにおいて、sin∠ABCの値とCAの長さを求めよ。
(6) 7個の数字1,2,3,4,5,6,7から、異なる3個を選び、それらを並べて3桁の整数を作る。このとき、3桁の整数は全部で何個あるか、また、3桁の偶数は何個あるか。

大問2-1:2次不等式
実数xについての2つの不等式
3x²-11x+6≤0...①
│x-a│＜1...②
がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1) ①を解け、
(2) a=2のとき、②を解け、
(3) ①かつ②を満たす整数xが、ちょうど2個存在するようなの値の範囲を求めよ。

大問2-2:図形と方程式
xy平面上に、
円C:x²+y²-4x-2y+3=0
直線l:x-2y+a=0
があり、Cの中心をA、半径をrとする。ただし、aは正の定数とする。
(1) Aの座標との値を求めよ。
(2) Cとしが異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、Cとの異なる2つの交点をP, Qとする、が(2)で求めた範囲を動くとき、三角形APQの面積が最大となるようなaの値を求めよ。

大問3:高次方程式
xの3次式
f(x)=x³-(k+2)x²+(k²+2k-2)x-k³+2k
と、xの3次方程式
f(x)=0...(*)
がある。ただし、kは正の定数とする。
(1) f(k)を求めよ。
(2) k=1のとき、(*)を解け。
(3) (*)が異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ。また、そのとき、(*)を解け。
(4) 実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]と表す。例えば、[3.5]=3、[2]=2である、(3)のとき、次の条件(#)が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。
条件(#): (*)の異なる2解α、βで[α]=[β]を満たすものが存在する。

大問4:確率
数直線上に点Pがある。最初、Pは原点にあり、1枚のコインを1回投げるごとに、表が出たときはPを正の方向に1だけ動かし、裏が出たときはPを負の方向に1だけ動かす。また、Pを初めて正または負の方向に1だけ動かした後、Pが原点に戻るたびに1点を獲得するものとする。
(1) コインを2回投げたとき、Pが原点にある確率を求めよ。
(2) コインを4回投げたとき、
(i) Pが原点にある確率を求めよ。
(ii) 4回目に初めて1点を獲得する確率を求めよ。
(iii) 獲得する点数の合計の期待値を求めよ。
(3) コインを6回投げたとき、1点も獲得しない確率を求めよ。


大問5:三角関数
kを実数の定数とする。以下のような、θの方程式①との不等式②がある。
tan=k...①
2cosθ+1≧0...②
(1) k=1のとき、0≦θ＜2πにおいて、①を解け。
(2) 0≦θ＜2πにおいて、②を解け。
(3) 0≦θ＜2πにおける①の解は2個ある。その2個の解の和が4π/3となるようなんの値を求めよ。
(4) (2)で求めたθの値の範囲における①の解が、2個あるときを考える。その2個の解をα, β(α＜β) とする。
(i) kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii) α+β≧7π/4となるようなkの値の範囲を求めよ。

大問6:数列
等差数列{a_n} (n=1,2,3,...) があり、
a₄=28、a₁₀=76
である。また、数列{b_n} (n=1,2,3,...)があり、その一般項は、
b_n=n²-n+2
である。
(1) 数列{a_n}の一般項a_nを求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2) 数列{b_n}の階差数列を{c_n}(n=1,2,3,...) とするとき、数列{c_n}の一般項c_nを求めよ。
(3) (1), (2) で求めたS_n, c_nに対して、次の連立不等式を満たす整数x、yの組(x,y)の個数をA_n(n=1,2,3,...)とする。
1≦x≦c_n、1≦y≦S_n、x²≦y≦4x²
(i) A₂を求めよ。
(ii) A_nを求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1)AB=15, AC=7, ∠BAC=60°の△ABCがある。辺BCの長さと△ABCの内接円の半径を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。xの2次方程式x2-ax-a-9=0が-2より小さい解と3より大きい解をもつようなの値の範囲を求めよ。
(3)方程式x3+3x2+2x-6=0を複素数の範囲で解け。
(4)座標平面上の直線y=x上の点で、直線x+2y-4=0までの距離が√5である点の座標をすべて求めよ。
(5)方程式4^(x+1)+7・2^x-2=0を解け。
(6)不等式log₂x+1≧log₂(2-x)を解け。

大問2:三角関数
aを正の定数とし、関数f(θ)をf(θ)=2sin²θ+2√3sinθcosθ+a(√3sinθ+cosθ)-6a²+1とする。
(1)√3sinθ+cosθをrsin(θ+α)の形に表せ。ただし、r＞0,-π＜α≦πとする。
(2)t=√3sinθ+cosθとおくとき、f(θ)をtの2次式で表せ。
(3)方程式f(θ)=0(0≦θ≦π)…(*)について考える。
(i)a=1のとき、(*)を解け。
(ii)(*)の異なる解の個数がちょうど2個となるようなaの値の範囲を求めよ。

大問3:場合の数
A,B,Cの3人を含む9人の生徒について考える。
(1)4人と5人の2つの組に分けるとき、分け方は何通りあるか。
(2)3人ずつ3つの組に分けるとき、
(i)分け方は全部で何通りあるか。
(ii)AとBが同じ組に入る分け方は何通りあるか。
(3)「9人を3人ずつ3つの班に分けて、それぞれの班で1人ずつ班長を選ぶこと」を班決めということにする。その際、AとBが同じ班に入るときAは班長になることができず、BとCが同じ班に入るときBは班長になることができないものとする。
(i)AとBが同じ班に入り、Cは別の班に入る班決めの仕方は何通りあるか。
(ii)班決めの仕方は全部で何通りあるか。

大問4:微分法
t＞0とする。f(x)=x⁴-6x²とし、曲線C:y=f(x)上の点P(t,f(t))におけるCの接線をlとする。
(1)t=1のときのlの方程式を求めよ。また、このときlとCのP以外の共有点の座標を求めよ。
(2)lとCがP以外に異なる2つの共有点をもつようなtの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、lとCのP以外の2つの共有点をQ(α,f(α)), R(β,f(β))(a＜β)とし、3点P, Q, RにおけるCの接線の傾きをそれぞれmP、mQ、mRとする。このとき、mP+mQ+mRのとり得る値の範囲を求めよ。

大問5:数列
数列{a[n]}(n=1,2,3,…)は公差が正の等差数列でa₁+a₂+a₃=-3. a₁a₃=-3を満たし、数列{b[n]}は
b₁=-1, b[n+1]=│b[n]│+a[n] (n=1,2,3,…)を満たしている。
(1)数列{a[n])の一般項を求めよ。
(2)b₂、b₃を求めよ。また、b≧0となるようなnの値の範囲を求めよ。
(3)n≧4のとき、数列{b[n]}の一般項を求めよ。
(4)n≧4のとき、∑[k=1～n]b[k]を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数列{${a_n}$}$(n=1,2,3,...)$は初項-8、公差4の等差数列であり、数列{$b_n$}$(n=1,2,3,...)$は初項から第n項までの和がS[n]=3^n/2(n=1,2,3,...)で与えられる数列である。
(1)数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。また、数列{$a_n$}の初項から第n項までの和を求めよ。
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_k)^2$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。
(4)nを3以上の整数とするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^n \vert a_kb_k \vert$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\theta$の関数。 $f(\theta)=\dfrac{1}{2\sin2\theta}-\sqrt2k\cos(θ-\dfrac{\pi}{4})+k^2$ がある。ただし、kは正の定数である。
(1)$\sin2\theta,\cos(\theta-\dfrac{\pi}{4})$のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)$f(\theta)$を$(\sin\theta-p)(\cos\theta-q)$ (p,qは定数)の形で表せ。 $(ii)k=\dfrac{\sqrt3}{2}$のとき、方程式$f(\theta)=0$を$0\leqq \theta\lt 2\pi$において解け。
(3)$\theta$の方程式$f(\theta)=0$が$0\leqq\theta\lt 2\pi$において相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、$\theta$の方程式$f(\theta)=0$の$0\leqq\theta\lt 2\pi$における最小の解を$\alpha$、最大の解を$\beta$と する。$\alpha+\beta=\dfrac{5\pi}{3}$となるようなkの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(a+3)^3$を展開せよ。
(2)$\dfrac{x-3}{x²+x} +\dfrac{x+9}{x^2+3x}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=x^2+2x (-2\leqq x\leqq 2)$における最大値をM、最小値をmとして、$M-m$を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\dfrac{7+3i}{1+i}$を$a+bi$ (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)$0°\leqq\theta\lt 180°、\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$のとき、$\sin\theta・\cos\theta$と$\cos\theta-\sin\theta$を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。