問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)$\dfrac{12}{3-\sqrt5}$の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)$b^2+10b$の値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数$f(x)=2x^2-6x+a$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、$AB=3、BC=4、CA=2$である。$\cos\angle BAC$の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式$x^3-x^2-x-2=0$を解け。
(5)円$x^2+y^2=4$上の点($1, \sqrt3$)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式$4^x-5・2-(x+1)+24=0$を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、$OA=\sqrt3-1、OB=\sqrt2、\angle AOB=\dfrac{3\pi}{4}$が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。$∠AOD=\theta\left(0\lt\theta\lt \dfrac{3\pi}{4}\right)$とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積を$\theta$を用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積を$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与える$\theta$の値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、$N=12$とし、123と並べたときは3桁の数で、$N=123$とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$は$x=-1$で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)$y=f(x)$のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順に$\alpha,\beta,γ$とする。
(i)$\alpha\gt -3$を示せ。
(ii)$P(3,0)、B(\beta,0)、C(γ,0)$とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列${a_n}{b_n}$が$a_1=\dfrac{3}{2}、a_{n+1}=\dfrac{3}{2a_n-\dfrac{1}{2}} (n=1,2,3,...)$$ b_1=p、b_{n+1}=b_n+p-\dfrac{1}{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}} (n=1,2,3,...)$ を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)$a_n$をnの式で表せ。
(2)$b_n$をpとnの式で表せ。
(3)$c_n=b_n-a_n$とする。$c_n$が$n=4$で最大となるようなpの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(x+y+2)^2$を展開せよ。
(2)$\dfrac{x^2-2x}{x^2+4x+3}\times\dfrac{2x+2}{x-2}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=2x^2-8x+9 (0\leqq x\leqq 1)$における最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\dfrac{2+i}{1-3i}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=3, BC=4\sqrt2, CA=5$である三角形ABCにおいて、$\cos\angle ABC$を求めよ。また、三 角形ABCの面積を求めよ。
(6)男子6人、女子4人の合計10人から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りか。 また、そのうち、女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りか。

問題文全文(内容文)：
2019年度8月 第2回 K塾高2模試 総集編

問題文全文(内容文)：
【１】
(1)　不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2)　関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3)　曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4)　$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5)　$OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ)　$OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ)　$|OC|$を求めよ。


【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$　($n=1，2，3，…$) と定める。
(1)　$S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2)　$S_4=12$　である確率を求めよ。
(3)　$S_4=12$　であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。

【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$　　…（*） を考える。
(1)　$a=1$のとき、（＊）を解け。
(2)　（＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3)　（＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。


【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1)　点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2)　$a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき 　　$(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。


【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1)　$r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2)　$p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ)　$\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ)　極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ)　$\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。　　　極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。


【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…①　　 $z^2－2az+8=0$…②　　 を考える。
(1)　①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2)　②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ)　$a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。