問題文全文(内容文)：
$r$を正の定数とする。
$xy$平面上を時刻$t=0$から$t=\pi$まで運動する点$P(x,y)$の座標が$x=2r(t-\sin\ t\cos\ t),y=2r\ \sin^2t$であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点$P$が描く曲線の概形を、$xy$平面上にかけ。

（2）
点$P$が時刻$t=0$から$t=\pi$までに動く道のり$S$は、
$S=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sqrt{ \left[ \dfrac{ dx }{ dt } \right]^2+\left[ \dfrac{ dy }{ dt } \right]^2 }\ dt$で与えられる。
このとき、$S$の値を求めよ。

（3）点$P$が描く曲線と$x$軸で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積①・基本編)

ポイント
曲線$y=f(x)$と$x$軸と$x=a$、$x=b(a<b)$で囲まれた部分を
$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$は①。

②$y=e^x$、$x$軸、$x=1$、$x=2$で囲まれた部分を、$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積
③$x=y^2-1$、$y$軸で囲まれた部分を、$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ a, bを実数とし、$f(x)$=$x$+$a\sin x$,　$g(x)$=$b\cos x$とする。
(1)定積分$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$f(x)g(x)dx$ を求めよ。
(2)不等式$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)+g(x)\right\}^2dx$≧$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)\right\}^2dx$ が成り立つことを示せ。
(3)曲線$y$=|$f(x)$+$g(x)$|、2直線$x$=$-\pi$, $x$=$\pi$、および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧$\displaystyle\frac{2}{3}r^2$$(r^2-6)$
が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。

2023筑波大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\int_{logπ}^{log2π}e^xsine^xdx$
これを解け.

問題文全文(内容文)：
変数変換(極座標)
$x=rcosθ$ $y=rsinθ$
$∬_D f(x,y)dxdy=∬_D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ$

(1)$∬_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$D : 4 \leqq x^2+y^2 \leqq 9$

(2)$∬_D sin\sqrt{x^2+y^2}dxdy$
$D : x^2+y^2 \leqq x^2$