問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。

試行(＊)を次のように定める。


(＊)

$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
　奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
　偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める


ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は

それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき

$1$から$6$までの整数の目の出る確率は

それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。

(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、

点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。

(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、

点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。

(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。

試行(＊)を$n$回繰り返した後に、

点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。

$2025$年東北大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{2}}$サイコロをn回投げて出た目の積をSとする。Sの正の約数の個数がk個となる
確率を$P_k$とする。次の問いに答えよ。
(1)$P_3$を$n$の式で表せ。
(1)$P_4$を$n$の式で表せ。

2022早稲田大学教育学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(3)4人でじゃんけんを1回するとき、ちょうど2人が勝つ確率は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$であり、
また、だれも勝たない確率は$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。

2021立教大学理学部過去問

問題文全文(内容文)：
中身の見えない2つの箱があり、1つの箱には赤玉2つと白玉1つが入っており、
もう1つの箱には赤玉1つと白玉2つが入っている。どちらかの箱を選び、選んだ
箱の中から玉を1つ取り出して元に戻す、という操作を繰り返す。
(1) 1回目は箱を無作為に選び、2回目以降は、前回取り出した玉が赤玉なら前回
と同じ箱、前回取り出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ。n回目に赤玉
を取り出す確率$p_n$を求めよ。
(2)1回目は箱を無作為に選び、2回目以降は、前回取り出した玉が赤玉なら前回
と同じ箱、前回取り出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ。n回目に赤玉を取り
出す確率 $q_n$を求めよ。

2022一橋大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$1$ から $6$ の番号がひとつずつ重複なくつけられた $6$ つの箱がある。このとき、次の試行を行う。
$\fbox{さいころを $1$ つ投げて、出た目の番号のついた箱に玉を $1$ つ入れる。}$
この試行を繰り返し、いずれかの箱に玉が $3$ 個入った時点で終了する。ただし、$1$ 回目の試行を行う前は、どの箱にも玉は $1$ 個も入っていないとする。終了するまでに行った試行の回数を $N$ とする。
$(1)$ $N$ のとりうる最小値 $N_0$ と最大値 $N_1$ をそれぞれ求めよ。
$(2)$ $N=N_{0}$ となる確率を求めよ。
$(3)$ $N=N_{0}+1$ となる確率を求めよ。
$(4)$ 試行を $6$ 回行った時点で、すべての箱に $1$ つずつ玉が入るという事象を $A$ とする。また、$N=N_{1}$ となる事象を $B$ とする。事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A}(B)$ を求めよ。
$(5)$ $N=N_{1}$ となる確率を $P$ とするとき、$6^{8}P$ は整数となる。その値を求めよ。