福田の数学〜千葉大学2022年理系第4問〜不定方程式とユークリッドの互除法 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜千葉大学2022年理系第4問〜不定方程式とユークリッドの互除法

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 0以上9999以下の整数を4桁で表示し、以下の操作を行うこととする。\\
ただし、 4桁で表示するとは、整数が100以上999以下の場合は千の位の数字を0、\\
10以上99以下の場合は千の位と百の位の数字を0、1以上9以下の場合は\\
千の位と百の位と十の位の数字を0、そして0はどの位の数字も0とすることである。\\
操作:千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と\\
一の位の数字を入れ換える。\\
また、整数Lに対し、操作によって得られた整数を\bar{ L }と表す。\\
(1) Mを0以上9999以下の整数とし、M=100x+yのように整数x, y (0 \leqq x \leqq 99,\\
0 \leqq y \leqq 99)を用いて表す。操作によって得られた\bar{ M } がMの\\
\frac{2}{3}倍に3を足した数 に等しいならば、\\
-197x+298y = 9が成り立つことを証明せよ。\\
(2) Nが0以上 9999 以下の整数ならば、操作によって\\
得られた整数\bar{ N }はNの\frac{2}{3}倍に1を足した数と等しくならないことを証明せよ。\\
\end{eqnarray}
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・N進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 0以上9999以下の整数を4桁で表示し、以下の操作を行うこととする。\\
ただし、 4桁で表示するとは、整数が100以上999以下の場合は千の位の数字を0、\\
10以上99以下の場合は千の位と百の位の数字を0、1以上9以下の場合は\\
千の位と百の位と十の位の数字を0、そして0はどの位の数字も0とすることである。\\
操作:千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と\\
一の位の数字を入れ換える。\\
また、整数Lに対し、操作によって得られた整数を\bar{ L }と表す。\\
(1) Mを0以上9999以下の整数とし、M=100x+yのように整数x, y (0 \leqq x \leqq 99,\\
0 \leqq y \leqq 99)を用いて表す。操作によって得られた\bar{ M } がMの\\
\frac{2}{3}倍に3を足した数 に等しいならば、\\
-197x+298y = 9が成り立つことを証明せよ。\\
(2) Nが0以上 9999 以下の整数ならば、操作によって\\
得られた整数\bar{ N }はNの\frac{2}{3}倍に1を足した数と等しくならないことを証明せよ。\\
\end{eqnarray}
投稿日:2022.05.16

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{\large\boxed{5}}\ 複数人でじゃんけんを何回か行い勝ち残った1人を決めることを考える。\hspace{70pt}\\
最初は全員がじゃんけんに参加して始める。それぞれのじゃんけんでは、\\
そのじゃんけんの参加者がそれぞれグー、チョキ、パーのどれかを出し、\\
もし誰か1人が他の全員に買った場合にはその1人が商社となりじゃんけん\\
はそこで終了する。そうでない場合、全員が同じ手を出したか、グー、チョキ、\\
パーのそれぞれを誰かが出した場合には'あいこ'となり、そのじゃんけんの参加者全員が\\
次のじゃんけんに進む。上記以外で、2つの手に分かれた場合には、\\
負けた手を出した人を除いて勝った手を出した人だけが次のじゃんけんに進む。\\
このように、じゃんけんを繰り返し行い、1人の勝者が決まるまで続けるものとする。\\
ただし、じゃんけんの参加者全員、グー、チョキ、パーのどれかを等しい確率\\
で毎回ランダムに出すものとする。また通常のじゃんけんのように\\
グーはチョキに勝ち、チョキはパーに勝ち、パーはグーに勝つものとする。\\
\\
(1)3人でじゃんけんを複数回行い1人の勝者を決める場合、1回目のじゃんけんで\\
勝者が決まる確率は\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\ であり、\\
ちょうど2回目のじゃんけんで勝者が決まる確率は\frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}\ であり、\\
ちょうど3回目のじゃんけんで勝者が決まる確率は\frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}\ である。\\
\\
(2)4人でじゃんけんを複数回行い1人の勝者を決める場合、1回目のじゃんけんで\\
勝者が決まる確率は\frac{\boxed{\ \ スセソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチツ\ \ }}\ であり、\\
ちょうど2回目のじゃんけんで勝者が決まる確率は\frac{\boxed{\ \ テトナ\ \ }}{\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }}\ である。
\end{eqnarray}
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