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9人を次のように分ける方法は通りあるか。
(1)2つのグループA、Bに分ける。ただし、各グループには少なくとも1人は入るものとする。
(2)2つのグループに分ける。

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場合の数のPとCの使い分けについての解説です。

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以下の問いに答えよ。なお、${}_n \mathrm{ C }_r$は二項係数を表す。
(1) AさんとBさんが将棋の対局を繰り返し行い、先に3回勝った方が優勝するものとする。AさんがBさんに1回の対局で勝つ確率は$p$であるとする。また各対局において引き分けはないものとする。このとき、Aさんが優勝する確率を$p$の式として表せ。
(2) (1) において $p = 0.75$ であるときに、Aさんが優勝する確率を、小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。
(3) (1) において「先に3回」を「先に$N$回」 ($N$は2以上の自然数)にしたときの Aさんが優勝する確率を$p$と$N$の式として表せ。必要ならば和の記号$\sum$や二項係数${}_n \mathrm{ C }_r$を用いてもよい。
(4) すべての自然数$m$について
$\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{{}_{m+k} \mathrm{ C }_k}{2^k} = 2^m-1$
であることを証明せよ。

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大問2(2)数直線上の原点 $O(0)$ に動点 $P$ がある。この動点 $P$ は $1$ 個のサイコロを投げたときに出た目に従って、次の規則で動くものとする。サイコロを $3$ 回投げる。第 $1$ 回目に出た目の数だけ正の方向に動き、その位置から第 $2$ 回目に出た目の数だけ負の方向に動き、その位置から第 $3$ 回目に出た目の数だけ再び正の方向に動いて止まる。このとき、最後の位置が $+3$ になる確率はエである。大問2(3)$1$ 個のサイコロを $4$ 回投げ、その出た目の数を順に $a, b, c, d$ とする。このとき、$a \times b = c \times d$となる確率はオである。

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大、中、小3個のさいころを投げるとき、目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。