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'05名古屋大学過去問題
$Z^6 = 64$

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複素数平面の基本的な考え方

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${\Large\boxed{6}}$　点$M_1(0,0)$を中心に$点(1,0)$を、時計の針の回転と逆の向きを正として、$\theta$だけ回転させた点を$P_1$とする。次に$線分M_1P_1$の$中点M_2$とし、この$M_2$を中心に$点P_1$を$\theta$だけ回転させた点を$P_2$とする。同様に自然数$n$に対して、$線分M_nP_n$の$中点M_{n+1}$を中心に$点P_n$を$\theta$だけ回転させた点を$P_{n+1}$とする。$P_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする。
$(1)\theta=\frac{\pi}{4}$のとき、$x_2=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }},$$　y_2=\frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}}{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。
$(2)\theta=\frac{\pi}{3}$のとき、$\lim_{n \to \infty}x_n=\boxed{\ \ ナ\ \ },$ $\lim_{n \to \infty}y_n=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ニ\ \ }}}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$である。


2021早稲田大学人間科学部過去問

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複素数からなる数列${z_n}$を、次の条件で定める。
$z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)$
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)$z_2=\boxed{ツ }+\boxed{ツ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{ト}+$
$\boxed{ナ}\ i,\ \ \ z_4=\boxed{二}+\boxed{ヌ}\ i $である。
(2)$r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi$ を用いて、$1+i=r(\cos θ+i\sin θ)$のように$1+i$を極形式で
表すとき、$r=\sqrt{\boxed{ネ}},\ θ=\frac{\boxed{ノ }}{\boxed{ハ}}\pi$である。
(3)すべての正の整数nに対する$\triangle PA_nA_{n+1}$が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、$\boxed{ヒ}+\boxed{フ }\ i$である。
(4)$|z_n| \gt 1000$となる最小のnは$n=\boxed{へ}$である。
(5)$A_{2022+k}$が実軸上にある最小の正の整数kは$k=\boxed{ホ}$である。

2022上智大学理工学部過去問

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次の方程式を満たす点z全体はどのような図形を表すか
$\vert z+1\vert=2\vert z-2\vert$