【数Ⅲ】区分求積法【グラフの面積とはなにか。和が積分になる驚きの仕組み】

問題文全文(内容文)：
(1)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{k^{2}}{n^{3}} + \frac{3 k}{n^{2}} + \frac{1}{n})

を求めよ.
(2)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}

を求めよ.
(3)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = n + 1}^{3 n} \frac{1}{\sqrt{k n}}

を求めよ.

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：めいちゃんねる

問題文全文(内容文)：
(1)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{k^{2}}{n^{3}} + \frac{3 k}{n^{2}} + \frac{1}{n})

を求めよ.
(2)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}

を求めよ.
(3)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = n + 1}^{3 n} \frac{1}{\sqrt{k n}}

を求めよ.

投稿日：2023.03.26

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)曲線y=

x

\log (x^{2} + 1)

のx≧0の部分をCとすると、点(1, log2)におけるCの接線lの方程式はy=

く

である。
また、曲線Cと直線l、およびy軸で囲まれた図形の面積は

け

である。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

a, bを実数とし、

f (x)

x

a \sin x

g (x)

b \cos x

とする。
(1)定積分

\int_{- π}^{π}

f (x) g (x) d x

を求めよ。
(2)不等式

\int_{- π}^{π}

{f (x) + g (x)}^{2} d x

≧

\int_{- π}^{π}

{f (x)}^{2} d x

が成り立つことを示せ。
(3)曲線

y

f (x)

g (x)

|、2直線

x

- π

x

π

、および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧

\frac{2}{3} r^{2}

(r^{2} - 6)

が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。

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問題文全文(内容文)：

\int_{\sqrt{5}}^{2 \sqrt{3}} \sqrt{1 + (\frac{2}{x})^{2}} d x

出典：2019年獨協医科大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：
関数

f (x)

は,等式

f (x) = 3 x^{2} \int_{- 1}^{1} f (t) d t + x + \int_{0}^{1} [f (t)]^{2} d t +

\int_{0}^{1} f (t) d t

を満たす。

\int_{0}^{1} f (t) d t \neq 0

とするとき,

f (0)

の値を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{2} x 2^{x - 1}

d x

出典：2024年茨城大学

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