問題文全文(内容文)：
確率の裏技紹介動画です

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ (2)袋の中に赤玉5個と白玉5個が入っている。次の規則に従って袋から玉を無作為に取り出す。
ステップ1. 袋から玉を3個取り出す。
ステップ2. ステップ1で取り出した玉の中に含まれている赤玉の数と同じ数の玉を袋から取り出す。

このとき、2回取り出した玉の中で赤玉が合計3個となる事象の確率を求めよ。
ただし、ステップ1の後、取り出された玉を袋に戻さない。

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル$\overrightarrow{v_k}$を
$\overrightarrow{v_k}=(\cos \frac{2k\pi }{3}, \sin \frac{2k\pi }{3})$
と定める。投げたとき表と裏がどちらも$\frac{1}{2}$の確率で出るコインをN回投げて、
座標平面上に点$X_0,X_1,X_2,\dots ,X_N$を以下の規則$(\text{i}),(\text{ii})$に従って定める。
$(\text{i})X_0$はOにある。
$(\text{ii})n$を1以上N以下の整数とする。$X_{n-1}$が定まったとし、$X_n$を次のように定める。
・n回目のコイン投げで表が出た場合、
$\overrightarrow{O{X}_n}=\overrightarrow{O{X}_{n-1}}+\overrightarrow{v_k}$
により$X_n$を定める。ただし、kは1回目からn回目までの
コイン投げで裏が出た回数とする。
・n回目のコイン投げで裏が出た場合、$X_n$を$X_{n-1}$と定める。
(1)$N=8$とする。$X_8$がOにある確率を求めよ。
(2)$N=200$とする。$X_{200}$がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表が
ちょうどr回出る確率を$p_r$とおく。ただし$0\leqq r\leqq 200$である。$p_r$を求めよ。
また$p_r$が最大となるrの値を求めよ。

2022東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじ
を引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能
性が対価を、条件付き確率を用いて考えよう。

(1)当たりくじを引く確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱Aと、当たりくじを引く確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$
である箱$B$の二つの箱の場合を考える。

$(\text{i})$各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}$　$\cdots$①
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$　$\cdots$②
である。

$(\text{ii})$まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱
において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3
回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが
選ばれる事象をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
$P(A\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}},}}$$P(B\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}}$
である。$P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$であるから。3回中ちょうど1
回当たった時、選んだ箱がAである条件付き確率$P_W(A)$は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}}}$と
なる。また、条件付き確率は$P_W(B)$は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}}$となる。
(2)(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$と$P_W(B)$の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$は、①の確率と②の確率の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$
に等しい。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群
⓪和　①2乗の和　②3乗の和　③比　④積

(3)花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:$P_W(A)$と$P_W(B)$を求めるのに必要な$P(A\cap W)$と$P(B\cap W)$
の計算で、①,②の確率に同じ数${\displaystyle \frac{1}{2}}$をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数${\displaystyle \frac{1}{3}}$をかける
ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

当たりくじを引く確率が、${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$A$、${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$B$、${\displaystyle \frac{1}{4}}$である箱
$C$の三つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C$のうちどれか一つの箱
をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いては
もとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。
このとき、選んだ箱がAである条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}}}$となる。

(4)花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$は各箱で
3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$になっている
みたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくて
も、その大きさを比較することができるね。

当たりくじを引く確率が、${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$A$、${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$B$、${\displaystyle \frac{1}{4}}$である箱
$C$、${\displaystyle \frac{1}{5}}$である箱$D$の四つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C,D$のうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを
1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど
1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを
引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$の解答群
⓪$A,B,C,D$
①$A,B,D,C$
②$A,C,B,D$
③$A,C,D,B$
④$A,D,B,C$
⑤$B,A,C,D$
⑥$B,A,D,C$
⑦$B,C,A,D$
⑧$B,C,D,A$

2021共通テスト過去問

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確率の基本性質　排反の説明動画です