問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$

次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$

次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$

問題文全文(内容文)：
【富山大学 2023】
(1) $\displaystyle t=tan\frac{x}{2} (-π＜x＜π)$とおく。
この時、$\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}, cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}$であることを示せ。
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{dx}{1+sinx+cosx}$を求めよ。
(3) ２つの定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1+2sinx}{1+sinx+cosx}dx, \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1+2cosx}{1+sinx+cosx}dx$が等しいことを示せ。
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1+2sinx}{1+sinx+cosx}dx$を求めよ。
(5) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{sinx}{1+sinx+cosx}dx$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)$x \gt 0$において、不等式$\log x \lt x $を示せ。
(2)$1 \lt a \lt b$のとき、不等式
$\frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b} \lt \frac{b-a}{a(\log a)^2}$
を示せ。
(3)$x \geqq e$において、不等式
$\int_e^x\frac{dt}{t\log(t+1)} \geqq \log(\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。

2016千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{2+\sin\ x}{1+\cos\ x}dx$

出典：2012年横浜国立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
（1）
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき
$\sin\ x \geqq \displaystyle \frac{2}{\pi}x$を示せ

（2）
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\ \sin\ x}dx=0$を示せ

出典：2009年大阪市立大学　入試問題