問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{e^3} x^2(log\ x)^2\ dx$

出典：2022年自治医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\cos\theta\sin\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta}d\theta$
$t=\tan^2\theta$で変数変換

出典：埼玉大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ a, bを実数とし、$f(x)$=$x$+$a\sin x$,　$g(x)$=$b\cos x$とする。
(1)定積分$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$f(x)g(x)dx$ を求めよ。
(2)不等式$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)+g(x)\right\}^2dx$≧$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}$$\left\{f(x)\right\}^2dx$ が成り立つことを示せ。
(3)曲線$y$=|$f(x)$+$g(x)$|、2直線$x$=$-\pi$, $x$=$\pi$、および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このとき不等式
V≧$\displaystyle\frac{2}{3}r^2$$(r^2-6)$
が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのa, bを求めよ。

2023筑波大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
aは$0 \lt a \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin(\frac{\pi}{4}+ax)\cos(\frac{\pi}{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*)　　$\int_0^1f(x)dx=1$
(2)$0 \leqq b \lt c \leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\\
[試行]n個の数$1,2,\ldots\ldots,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\ldots\ldots,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、

(**)$\lim_{k \to \infty}\frac{S_{n,k,i}}{k}=\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\lim_{k \to \infty}A_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。

2022東京工業大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x-\sqrt{ x^2-1 }}$

出典：1946年東京帝国大学　入試問題