福田の数学〜北里大学2021年医学部第１問(4)〜定積分で表された関数と回転体の体積

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問題文全文(内容文)：
(4)関数f(x)は微分可能であり、すべての実数xについて

f (x) = e^{2 x + 1} + 4 \int_{0}^{x} f (t) d t

を満たすとする。関数

g (x)

を

g (x) = e^{- 4 x} f (x)

により定めるとき,

g^{'} (x) = シ

であり、

f (x) = ス

である。また、曲線

y = f (x)

と
x軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
回転体の体積は

セ

である。

2021北里大学医学部過去問
\end{eqnarray}

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(4)関数f(x)は微分可能であり、すべての実数xについて

f (x) = e^{2 x + 1} + 4 \int_{0}^{x} f (t) d t

を満たすとする。関数

g (x)

を

g (x) = e^{- 4 x} f (x)

により定めるとき,

g^{'} (x) = シ

であり、

f (x) = ス

である。また、曲線

y = f (x)

と
x軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
回転体の体積は

セ

である。

2021北里大学医学部過去問
\end{eqnarray}

投稿日：2023.01.02

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指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \frac{\sin x}{3 + \cos x}

の最大値を最小値を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
極方程式で表されたxy平面上の曲線

r = 1 + \cos θ (0 ≦ θ ≦ 2 π)

をCとする。
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、

\frac{d x}{d θ} = 0

となる点、および

\frac{d y}{d θ} = 0

となる点の直交座標を求めよ。
(2)

lim_{θ \to π} \frac{d y}{d x}

を求めよ。
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。
(4)曲線Cの長さを求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　曲線y=

\log x

上の点A(t,

\log t

)における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBのx座標はtより大きい。
(1)点Bの座標(u(t), v(t))を求めよ。また

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。
(2)実数rは0＜r＜1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ

L_{1} (r)

L_{2} (r)

とする。このとき、極限

lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}} (x \neq 0) \\ 0 (x = 0) \end{cases} \end{array}

　は連続であるが微分可能でないことを示せ

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。

0 ≦ x ≦ 1

のとき

1 - x + x ² e^{x} ≦ e^{x} ≦ 1 + x + \frac{1}{2} x ² e^{x}

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