微分とその応用
微分とその応用
高校数学：数学検定準1級2次：問題7 関数の増減と変曲点
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#微分とその応用#微分法#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) f(x)の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) xy平面における曲線y＝f(x)は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
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$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) f(x)の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) xy平面における曲線y＝f(x)は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
福田の数学〜この関数にピンときたら大正解〜北里大学2023年医学部第2問〜関数の増減と方程式の実数解の個数
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=2^x-x^2$について考える。必要ならば、$0.6 \lt \log 2 \lt 0.7,-0.4 \lt \log(\log2) \lt -0.3を用いてよい。
(1)$f(x)$は区間 $x \geqq 4$で増加することを示せ。
(2)方程式$f'(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(4)方程式$f(x)=0$の実数解のうち、最小のものをpとする。この時、曲線$y=f(x)の$x \leq 0$の部分、放物線$y=-x^2+\dfrac{2}{\log2}x$、および２つの直線$x=p,x=0$で囲まれた図形の面積を求めよ。
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関数$f(x)=2^x-x^2$について考える。必要ならば、$0.6 \lt \log 2 \lt 0.7,-0.4 \lt \log(\log2) \lt -0.3を用いてよい。
(1)$f(x)$は区間 $x \geqq 4$で増加することを示せ。
(2)方程式$f'(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(4)方程式$f(x)=0$の実数解のうち、最小のものをpとする。この時、曲線$y=f(x)の$x \leq 0$の部分、放物線$y=-x^2+\dfrac{2}{\log2}x$、および２つの直線$x=p,x=0$で囲まれた図形の面積を求めよ。
【演習！】不等式の証明での微分の使い方について解説しました！【数学III】
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ
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$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ
【割り算の微分】商の微分の導出について解説しました！【数学III】
【積の微分】積の微分の導出について解説しました！【数学III】
【微分の使い方】微分を用いたグラフの描き方を解説しました！【数学III】
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$y=-x^3+6x^2-9x+2$のグラフを描け。
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$y=-x^3+6x^2-9x+2$のグラフを描け。
【短時間でマスター!!】円の接線の求め方を解説！〔現役講師解説、数学〕
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数学2B
円の接線の求め方を解説します。
点A$(3.1)$から円$x^2+y^2=2$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
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数学2B
円の接線の求め方を解説します。
点A$(3.1)$から円$x^2+y^2=2$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
【微分の定義は？！】微分の定義をイメージで解説しました！【数学III】
【数Ⅲ】微分法：整式の次数に着目して解く問題
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
f(x)は0でない整式で次を満たすとする。
・xf''(x) + (1 - x)f'(x) + 3f(x) = 0
・f(0) = 1
（１）f(x)の次数を求めよ
（２）f(x)を求めよ
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f(x)は0でない整式で次を満たすとする。
・xf''(x) + (1 - x)f'(x) + 3f(x) = 0
・f(0) = 1
（１）f(x)の次数を求めよ
（２）f(x)を求めよ
【数Ⅲ】東大の文系の問題を微分で解いてみた【東京大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
kを正の実数とし,二次方程式$x^{2}+x-k=0$の二つの実数解を、$\alpha,\beta$とする。
$kがk＞2$の範囲を動くとき,
$\displaystyle \frac{\alpha^{3}}{1-\beta}+\displaystyle \frac{\beta^{3}}{1-\alpha}$の最小値を求めよ。
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kを正の実数とし,二次方程式$x^{2}+x-k=0$の二つの実数解を、$\alpha,\beta$とする。
$kがk＞2$の範囲を動くとき,
$\displaystyle \frac{\alpha^{3}}{1-\beta}+\displaystyle \frac{\beta^{3}}{1-\alpha}$の最小値を求めよ。
【数Ⅲ】微分の応用：漸近線があるグラフの概形part2
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
f(x)= x³/x²-4 の漸近線を求めよ
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f(x)= x³/x²-4 の漸近線を求めよ
【数Ⅲ】微分の応用：漸近線があるグラフの概形part1
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
f(x)= 2x + √x²-1 の漸近線を求めよ
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f(x)= 2x + √x²-1 の漸近線を求めよ
【数Ⅲ】微分法の応用：平均値の定理の定番問題の解説
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学Ⅲ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
α、β：実数
次の不等式を証明せよ。
｜sinα－sinβ｜≦｜α－β｜
（出典）数研出版 ４STEP数学Ⅲより
定期テスト対策に活用してみてくださいね。
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α、β：実数
次の不等式を証明せよ。
｜sinα－sinβ｜≦｜α－β｜
（出典）数研出版 ４STEP数学Ⅲより
定期テスト対策に活用してみてくださいね。
2023年京大の数学！最大値・最小値【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
次の関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
$f(x)=e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1+\dfrac{1}{e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1}$ $(-1≦x≦1)$
ただし、$e$は自然対数の底であり、その値は$e=2.71･･･$である。
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次の関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
$f(x)=e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1+\dfrac{1}{e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1}$ $(-1≦x≦1)$
ただし、$e$は自然対数の底であり、その値は$e=2.71･･･$である。
【数Ⅲ】不等式を微分を使って証明する【増減表を見て最小値を探す】
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$(1)x \gt 1のとき\log x \lt \sqrt xを示せ.$
$(2)x \gt 1のとき\log x \lt \sqrt xを示せ.$
$ →\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{\log x}{x}=0が示せ.$
$(3)x \gt 1のとき,\log x \gt \dfrac{2(x-1)}{x+1}を示せ.$
$(4)x \gt 0のとき,\sin x \gt x-\dfrac{x^2}{2}を示せ.$
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$(1)x \gt 1のとき\log x \lt \sqrt xを示せ.$
$(2)x \gt 1のとき\log x \lt \sqrt xを示せ.$
$ →\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{\log x}{x}=0が示せ.$
$(3)x \gt 1のとき,\log x \gt \dfrac{2(x-1)}{x+1}を示せ.$
$(4)x \gt 0のとき,\sin x \gt x-\dfrac{x^2}{2}を示せ.$
東京電機大 最大値・最小値
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#２次関数#2次関数とグラフ#三角関数#三角関数とグラフ#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x,yを実数とする.x^2+2y^2+4y=0を満たすとき,2x-yの最大値・最小値を求めよ.$
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$ x,yを実数とする.x^2+2y^2+4y=0を満たすとき,2x-yの最大値・最小値を求めよ.$
あけましておめでとうございます
【数Ⅲ】陰関数のグラフ【対称性を使って最低限の労力でグラフを描く】
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ (1)y^2=x^2(4-x^2)のグラフを描け.$
$ (2)y^2=x^2(4-x^2)をyについて解け.$
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$ (2)y^2=x^2(4-x^2)をyについて解け.$
大小比較！この形は超頻出なので絶対に抑えておきたい問題【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$e^\pi$と$\pi^e$の大小を比較せよ。
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$e^\pi$と$\pi^e$の大小を比較せよ。
頻出！微分のよく見るような問題【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
曲線$y=\displaystyle \frac{1}{2}(x^2+1)$上の点$P$における接線は$x$軸と交わるとし,その交点を$\varrho$とおく。線分$P\varrho$の長さを$L$とするとき,$L$が取りうる値の最小値を求めよ。
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曲線$y=\displaystyle \frac{1}{2}(x^2+1)$上の点$P$における接線は$x$軸と交わるとし,その交点を$\varrho$とおく。線分$P\varrho$の長さを$L$とするとき,$L$が取りうる値の最小値を求めよ。
東大数学！少しひらめきを求められる問題です（誘導あり）【東京大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
(1)実数$x$が$-1<x<1,x \neq 0$を満たすとき,次の不等式を示せ。
$(1-x)^{1-\dfrac{1}{x}}<(1+x)^{\dfrac{1}{x}}$
(2)次の不等式を示せ。
$0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}$
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(1)実数$x$が$-1<x<1,x \neq 0$を満たすとき,次の不等式を示せ。
$(1-x)^{1-\dfrac{1}{x}}<(1+x)^{\dfrac{1}{x}}$
(2)次の不等式を示せ。
$0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}$
数Ⅲ微分！絶対に落としたくない問題です【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$x>0$に対して,$(1+x)^{\frac{1}{x}}<e<(1+x)^{\frac{1}{x}+1}$が成り立つことを示せ。
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$x>0$に対して,$(1+x)^{\frac{1}{x}}<e<(1+x)^{\frac{1}{x}+1}$が成り立つことを示せ。
【数Ⅲ】グラフを描く【チェックするべきポイントを押さえる】
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
グラフを描くことに関して解説していきます.
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グラフを描くことに関して解説していきます.
【数Ⅲ】三角関数・指数・対数の微分公式【合成関数との合せ技】
【数Ⅲ】微分の公式 積・商・合成関数の微分【中身と外側を区別しよう】
福田の数学〜杏林大学2022年医学部第２問〜定積分と関数の増減
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}(1)Cを積分定数として、指数関数とたんっ公式の席の不定積分について、次式が成り立つ。\\
\int xe^{-3x}dx = -(\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }\ x+\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }})\ e^{-3x}+C\\
\int x^2e^{-3x}dx = -(\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }\ x^2+\boxed{\ \ オ\ \ }\ x+\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }})\ e^{-3x}+C\\
また、定積分について、\\
\int_0^1|(9x^2-1)e^{-3x}|dx=\frac{1}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}(-1+\boxed{\ \ コ\ \ }\ e^{\boxed{\ \ サシ\ \ }}-\boxed{\ \ スセ\ \ }\ e^{-3})\\
が成り立つ。\\
\\
(2)p,q,rを実数の定数とする。関数f(x)=(px^2+qx+r)e^{-3x}がx=0で極大、\\
x=1で極小となるための必要十分条件は\\
p=\boxed{\ \ ソタ\ \ }\ r,\ \ \ q=\boxed{\ \ チ\ \ }\ r,\ \ \ \boxed{\ \ ツ\ \ }\\
である。さらに、f(x)の極小値が-1であるとすると、f(x)の極大値は\frac{e^{\boxed{\ \ テ\ \ }}}{\boxed{\ \ ト\ \ }}となる。\\
このとき、\int_0^1f(x)dx=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{\boxed{\ \ 二\ \ }}である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ツ\ \ }の解答群\\
①\ r\gt 0\ \ \ \ ②\ r=0\ \ \ \ ③\ r \lt 0\ \ \ \ ④\ r \gt 1\ \ \ \ ⑤\ r=1\ \ \ \ \\
⑥\ r \lt 1\ \ \ \ ⑦\ r \gt \frac{1}{3}\ \ \ \ ⑧\ r =\frac{1}{3}\ \ \ \ ⑨r \lt \frac{1}{3}\ \ \ \
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}(1)Cを積分定数として、指数関数とたんっ公式の席の不定積分について、次式が成り立つ。\\
\int xe^{-3x}dx = -(\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }\ x+\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }})\ e^{-3x}+C\\
\int x^2e^{-3x}dx = -(\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }\ x^2+\boxed{\ \ オ\ \ }\ x+\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }})\ e^{-3x}+C\\
また、定積分について、\\
\int_0^1|(9x^2-1)e^{-3x}|dx=\frac{1}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}(-1+\boxed{\ \ コ\ \ }\ e^{\boxed{\ \ サシ\ \ }}-\boxed{\ \ スセ\ \ }\ e^{-3})\\
が成り立つ。\\
\\
(2)p,q,rを実数の定数とする。関数f(x)=(px^2+qx+r)e^{-3x}がx=0で極大、\\
x=1で極小となるための必要十分条件は\\
p=\boxed{\ \ ソタ\ \ }\ r,\ \ \ q=\boxed{\ \ チ\ \ }\ r,\ \ \ \boxed{\ \ ツ\ \ }\\
である。さらに、f(x)の極小値が-1であるとすると、f(x)の極大値は\frac{e^{\boxed{\ \ テ\ \ }}}{\boxed{\ \ ト\ \ }}となる。\\
このとき、\int_0^1f(x)dx=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{\boxed{\ \ 二\ \ }}である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ツ\ \ }の解答群\\
①\ r\gt 0\ \ \ \ ②\ r=0\ \ \ \ ③\ r \lt 0\ \ \ \ ④\ r \gt 1\ \ \ \ ⑤\ r=1\ \ \ \ \\
⑥\ r \lt 1\ \ \ \ ⑦\ r \gt \frac{1}{3}\ \ \ \ ⑧\ r =\frac{1}{3}\ \ \ \ ⑨r \lt \frac{1}{3}\ \ \ \
\end{eqnarray}
福田の数学〜北里大学2022年医学部第２問〜定積分と不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 次の各問いに答えよ。\hspace{210pt}\\
(1)定積分\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ。\hspace{160pt}\\
(2)x≠0を満たすすべての実数xに対して、e^x \gt 1+xとe^{-x^2} \lt \frac{1}{1+x^2}が\hspace{8pt}\\
成り立つことを証明せよ。\hspace{192pt}\\
(3)\frac{2}{3} \lt \int^1_0e^{-x^2}dx \lt \frac{\pi}{4}が成り立つことを証明せよ。\hspace{88pt}
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 次の各問いに答えよ。\hspace{210pt}\\
(1)定積分\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ。\hspace{160pt}\\
(2)x≠0を満たすすべての実数xに対して、e^x \gt 1+xとe^{-x^2} \lt \frac{1}{1+x^2}が\hspace{8pt}\\
成り立つことを証明せよ。\hspace{192pt}\\
(3)\frac{2}{3} \lt \int^1_0e^{-x^2}dx \lt \frac{\pi}{4}が成り立つことを証明せよ。\hspace{88pt}
\end{eqnarray}
福田の数学〜中央大学2022年理工学部第３問〜指数関数の接線と囲まれる部分の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ 関数 f(x) = -xe^x を考える。曲線C: y = f(x)の点(a, f(a)) における接線をl_aと\\
し、接線l_aとy軸の交点を (0, g(a)) とおく。以下の問いに答えよ。\hspace{60pt}\\
(1) 接線l_aの方程式とg (a)を求めよ。\hspace{170pt}\\
以下、aの関数g (a) が極大値をとるときのaの値をbとおく。\hspace{79pt}\\
(2) bを求め、点(b, f(b)) は曲線Cの変曲点であることを示せ。\hspace{76pt}\\
(3) 曲線Cの点 (b, f(b)) における接線l_bと x軸の交点のx座標cを求めよ。さらに、\hspace{10pt}\\
c\leqq x\leqq 0の範囲で曲線Cの概形と接線l_bをxy 平面上に図示せよ。\hspace{50pt}\\
(4)曲線C、接線l_bおよびy軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 \hspace{73pt}
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ 関数 f(x) = -xe^x を考える。曲線C: y = f(x)の点(a, f(a)) における接線をl_aと\\
し、接線l_aとy軸の交点を (0, g(a)) とおく。以下の問いに答えよ。\hspace{60pt}\\
(1) 接線l_aの方程式とg (a)を求めよ。\hspace{170pt}\\
以下、aの関数g (a) が極大値をとるときのaの値をbとおく。\hspace{79pt}\\
(2) bを求め、点(b, f(b)) は曲線Cの変曲点であることを示せ。\hspace{76pt}\\
(3) 曲線Cの点 (b, f(b)) における接線l_bと x軸の交点のx座標cを求めよ。さらに、\hspace{10pt}\\
c\leqq x\leqq 0の範囲で曲線Cの概形と接線l_bをxy 平面上に図示せよ。\hspace{50pt}\\
(4)曲線C、接線l_bおよびy軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 \hspace{73pt}
\end{eqnarray}
福田の数学〜上智大学2022年TEAP理系型第４問〜媒介変数で表された極方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ 座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え\hspace{10pt}\\
る。平面上を運動する点Pの極座標(r,\ θ)が、時刻t \geqq 0の関数として、\hspace{39pt}\\
r=1+t,\ \ \ θ=\log(1+t)\hspace{100pt}\\
で与えられるとする。時刻t=0にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで\\
にPが描く軌跡をCとする。\hspace{191pt}\\
(1)\ t \gt 0において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。\hspace{30pt}\\
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。\hspace{147pt}\\
(3)Cの長さを求めよ。\hspace{210pt}\\
(4)Cを座標平面上に図示せよ。\hspace{177pt}\\
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\hspace{109pt}\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ 座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え\hspace{10pt}\\
る。平面上を運動する点Pの極座標(r,\ θ)が、時刻t \geqq 0の関数として、\hspace{39pt}\\
r=1+t,\ \ \ θ=\log(1+t)\hspace{100pt}\\
で与えられるとする。時刻t=0にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで\\
にPが描く軌跡をCとする。\hspace{191pt}\\
(1)\ t \gt 0において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。\hspace{30pt}\\
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。\hspace{147pt}\\
(3)Cの長さを求めよ。\hspace{210pt}\\
(4)Cを座標平面上に図示せよ。\hspace{177pt}\\
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\hspace{109pt}\\
\end{eqnarray}
福田の数学〜立教大学2022年理学部第２問〜接線と囲まれた部分の面積と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 実数xに対し、関数f(x)を\hspace{233pt}\\
f(x)=xe^{-x}\hspace{203pt}\\
により定める。座標平面上の曲線C:y=f(x)に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。\hspace{7pt}\\
(1)f(x)の導関数f'(x)を求め、f(x)の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。\\
(2)f(x)の第2次導関数f''(x)を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。\hspace{75pt}\\
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線をlとする。\hspace{102pt}\\
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。\hspace{175pt}\\
(4)a,\ b,\ cを定数とし、関数g(x)をg(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}と定める。\hspace{43pt}\\
g(x)の導関数g'(x)がg'(x)=x^2e^{-2x}を満たすとき、a,\ b,\ cの値を求めよ。\hspace{29pt}\\
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる\hspace{61pt}\\
回転体の体積Vを求めよ。\hspace{222pt}
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 実数xに対し、関数f(x)を\hspace{233pt}\\
f(x)=xe^{-x}\hspace{203pt}\\
により定める。座標平面上の曲線C:y=f(x)に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。\hspace{7pt}\\
(1)f(x)の導関数f'(x)を求め、f(x)の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。\\
(2)f(x)の第2次導関数f''(x)を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。\hspace{75pt}\\
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線をlとする。\hspace{102pt}\\
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。\hspace{175pt}\\
(4)a,\ b,\ cを定数とし、関数g(x)をg(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}と定める。\hspace{43pt}\\
g(x)の導関数g'(x)がg'(x)=x^2e^{-2x}を満たすとき、a,\ b,\ cの値を求めよ。\hspace{29pt}\\
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる\hspace{61pt}\\
回転体の体積Vを求めよ。\hspace{222pt}
\end{eqnarray}