微分とその応用
微分とその応用
曲線y=eˣ+2e⁻ˣにおいて，傾きが1である接線の方程式を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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曲線 $y=e^x+2e^{-x}$ において、傾きが 1 である接線の方程式を求めよ。
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曲線 $y=e^x+2e^{-x}$ において、傾きが 1 である接線の方程式を求めよ。
次の曲線について，与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。（1）y=√x（−2，0）（2）y=2x/（x+1）（1，2）（3）y=e²ˣ⁺¹（0，0）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
(1) $y=\sqrt{x}\quad(-2,\ 0)$
(2) $y=\dfrac{2x}{x+1}\quad(1,\ 2)$
(3) $y=e^{2x+1}\quad(0,\ 0)$
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次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
(1) $y=\sqrt{x}\quad(-2,\ 0)$
(2) $y=\dfrac{2x}{x+1}\quad(1,\ 2)$
(3) $y=e^{2x+1}\quad(0,\ 0)$
次の曲線について（ ）内のtの値に対応する接線の方程式を求めよ（1）x=√3cost，y=sint（t=π/6）（2）x=cos2t，y=sint+1（t=−π/6）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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媒介変数 $t$ で表された次の曲線について、（ ）内の $t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
(1) $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos t\\y=\sin t\end{array}\right.\ \left(t=\dfrac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos2t\\y=\sin t+1\end{array}\right.\ \left(t=-\dfrac{\pi}{6}\right)$
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媒介変数 $t$ で表された次の曲線について、（ ）内の $t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
(1) $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos t\\y=\sin t\end{array}\right.\ \left(t=\dfrac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos2t\\y=\sin t+1\end{array}\right.\ \left(t=-\dfrac{\pi}{6}\right)$
xの関数yが，tを媒介変数として，x=cost+tsint，y=sint−tcostと表されるとき，d²y/dx²をtの関数として表せ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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$x$ の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として、$x=\cos t+t\sin t,\ y=\sin t-t\cos t$ と表されるとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
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$x$ の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として、$x=\cos t+t\sin t,\ y=\sin t-t\cos t$ と表されるとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
次の関数について，dy/dxを求めよ。（1）x²+3xy−y²=1（2）x=cosy（3）x=（1+t²）/（1−t²），y=2t/（1−t²）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数について、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、(1)、(2)では、$y$ を用いて表してもよい。また、(3)、(4)では、$t$ の関数として表せ。$a,\ b$ は正の定数とする。
(1) $x^2+3xy-y^2=1$
(2) $x=\cos y$
(3) $x=\dfrac{1+t^2}{1-t^2},\ y=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(4) $x=a\cos^3t,\ y=b\sin^3t$
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次の関数について、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、(1)、(2)では、$y$ を用いて表してもよい。また、(3)、(4)では、$t$ の関数として表せ。$a,\ b$ は正の定数とする。
(1) $x^2+3xy-y^2=1$
(2) $x=\cos y$
(3) $x=\dfrac{1+t^2}{1-t^2},\ y=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(4) $x=a\cos^3t,\ y=b\sin^3t$
成り立つことを証明せよ（1）y=x√（1+x²）のとき（1+x²）y″+xy′=4y（2）y=e⁻²ˣ（acos2x+bsin2x）のときy″+4y′+8y=0【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次のことが成り立つことを証明せよ。ただし、$a,\ b$ は定数とする。
(1) $y=x\sqrt{1+x^2}$ のとき $(1+x^2)y''+xy'=4y$
(2) $y=e^{-2x}(a\cos2x+b\sin2x)$ のとき $y''+4y'+8y=0$
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次のことが成り立つことを証明せよ。ただし、$a,\ b$ は定数とする。
(1) $y=x\sqrt{1+x^2}$ のとき $(1+x^2)y''+xy'=4y$
(2) $y=e^{-2x}(a\cos2x+b\sin2x)$ のとき $y''+4y'+8y=0$
次の関数の第3次導関数を求めよ。（1）y=1/（x²−x）（2）y=√（2x+1）（3）y=cos³x【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
(1) $y=\dfrac{1}{x^2-x}$
(2) $y=\sqrt{2x+1}$
(3) $y=\cos^3x$
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
(1) $y=\dfrac{1}{x^2-x}$
(2) $y=\sqrt{2x+1}$
(3) $y=\cos^3x$
次の極限を求めよ。（1）limₓ→0log（1+x）/x（2）limₓ→∞（x/（x+1））ˣ（3）limₓ→0（1+2x）¹/ˣ（4）limₓ→∞（1−2/x）ˣ【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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$\displaystyle \lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて、次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$
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$\displaystyle \lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて、次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$
対数微分法により、次の関数を微分せよ。（1）y=（x+1）²/｛（x+2）³（x+3）⁴｝（2）y=（1+x）³（1−2x）/｛（1−x）（1+2x）³｝他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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対数微分法により、次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $y=\dfrac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$
(2) $y=\dfrac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$
(3) $y=\sqrt[4]{(x+1)(x^2+2)}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$
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対数微分法により、次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $y=\dfrac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$
(2) $y=\dfrac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$
(3) $y=\sqrt[4]{(x+1)(x^2+2)}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$
次の関数を微分せよ。ただし，a，bは定数で，a＞0，a≠1とする。（1）y=e⁻²ˣsin2x（2）y=10ˢⁱⁿˣ（3）y=logₓa（4）y=log（logx）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数を微分せよ。ただし、$a,\ b$ は定数で、$a>0,\ a\ne1$ とする。
(1) $y=e^{-2x}\sin2x$
(2) $y=10^{\sin x}$
(3) $y=\log_x a$
(4) $y=\log(\log x)$
(5) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
(6) $y=\log\dfrac{x^2-b}{x^2+b}$
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次の関数を微分せよ。ただし、$a,\ b$ は定数で、$a>0,\ a\ne1$ とする。
(1) $y=e^{-2x}\sin2x$
(2) $y=10^{\sin x}$
(3) $y=\log_x a$
(4) $y=\log(\log x)$
(5) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
(6) $y=\log\dfrac{x^2-b}{x^2+b}$
次の極限値を求めよ。（1）limₓ→ₐ（sinx−sina）/sin（x−a）（2）limₓ→ₐ（x²sina−a²sinx）/（x−a）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin(x-a)}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{x^2\sin a-a^2\sin x}{x-a}$
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次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin(x-a)}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{x^2\sin a-a^2\sin x}{x-a}$
次の関数を微分せよ。（1）y=sin²3x（2）y=sin⁵xcos5x（3）y=sin⁴xcos⁴x（4）y=√（1+sin²x）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\sin^23x$
(2) $y=\sin^5x\cos5x$
(3) $y=\sin^4x\cos^4x$
(4) $y=\sqrt{1+\sin^2x}$
(5) $y=\sin\sqrt{x^2+x+1}$
(6) $y=\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)^2$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\sin^23x$
(2) $y=\sin^5x\cos5x$
(3) $y=\sin^4x\cos^4x$
(4) $y=\sqrt{1+\sin^2x}$
(5) $y=\sin\sqrt{x^2+x+1}$
(6) $y=\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)^2$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
すべての実数xに対して，1+2x−3x²≦f（x）≦1+2x+3x²が成り立つような関数f（x）がある。このとき，f'（0）を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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すべての実数 $x$ に対して、$1+2x-3x^2\leq f(x)\leq1+2x+3x^2$ が成り立つような関数 $f(x)$ がある。このとき、$f'(0)$ を求めよ。
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すべての実数 $x$ に対して、$1+2x-3x^2\leq f(x)\leq1+2x+3x^2$ が成り立つような関数 $f(x)$ がある。このとき、$f'(0)$ を求めよ。
f（x）=1/（x³+1）の逆関数f⁻¹（x）のx=1/9における微分係数を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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$f(x)=\dfrac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x=\dfrac{1}{9}$ における微分係数を求めよ。
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$f(x)=\dfrac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x=\dfrac{1}{9}$ における微分係数を求めよ。
次の関数を微分せよ。（1）y=x/（1+x³）²（2）y=1/x⁴√x（3）y=x√（x²+2）（4）y=x/√（1−x²）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\dfrac{x}{(1+x^3)^2}$
(2) $y=\dfrac{1}{x\sqrt[4]{x}}$
(3) $y=x\sqrt{x^2+2}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\dfrac{x}{(1+x^3)^2}$
(2) $y=\dfrac{1}{x\sqrt[4]{x}}$
(3) $y=x\sqrt{x^2+2}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
次の関数を微分せよ。（1）y=（x+2）（x−1）（x−5）（2）y=（x³−x）（x²+1）（x−1）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$
(2) $y=(x^3-x)(x^2+1)(x-1)$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$
(2) $y=(x^3-x)(x^2+1)(x-1)$
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標（x，y）が，x=e⁻ᵗsint，y=e⁻ᵗcostで表されるとき，速度vとOPのなす角θを求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
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#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、$x=e^{-t}\sin t$、
$y=e^{-t}\cos t$ で表されるとき、速度 $\vec{v}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、O
は原点 $(0,\ 0)$ とする。
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、$x=e^{-t}\sin t$、
$y=e^{-t}\cos t$ で表されるとき、速度 $\vec{v}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、O
は原点 $(0,\ 0)$ とする。
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標（x，y）が，x=2（ωt−sinωt），y=2（1−cosωt）で表されるとき，速さvの最大値とtの値を求めよ【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
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#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、
$x=2(\omega t-\sin\omega t),\ y=2(1-\cos\omega t)$ で表されるとき、速さ $|\vec{v}|$ の最大値と、
そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$\omega$ は正の定数とする。
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座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が、
$x=2(\omega t-\sin\omega t),\ y=2(1-\cos\omega t)$ で表されるとき、速さ $|\vec{v}|$ の最大値と、
そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$\omega$ は正の定数とする。
水面から30mの高さの岸壁の上から58mの距離にある船を綱で引き寄せる。毎秒4mの速さで綱をたぐるとき，2秒後の船の速さを求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜速度と加速度】
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#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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水面から 30 m の高さの岸壁の上から 58 m の距離にある船を網で引き寄せる。
毎秒 4 m の速さで網をたぐるとき、2 秒後の船の速さを求めよ。
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水面から 30 m の高さの岸壁の上から 58 m の距離にある船を網で引き寄せる。
毎秒 4 m の速さで網をたぐるとき、2 秒後の船の速さを求めよ。
4次方程式x⁴+ax³+bx²−2b+2=0がx=2を重解にもつとき，定数a，bの値を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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4 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2-2b+2=0$ が $x=2$ を重解にもつとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
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4 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2-2b+2=0$ が $x=2$ を重解にもつとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
点P（a，0）から曲線y=xeˣに接線が引けるためのaの条件を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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点 $\mathrm{P}(a,\ 0)$ から曲線 $y=xe^x$ に接線が引けるための $a$ の条件を求めよ。
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点 $\mathrm{P}(a,\ 0)$ から曲線 $y=xe^x$ に接線が引けるための $a$ の条件を求めよ。
曲線xy=k（k≠0）上の任意の点Pにおける接線が，x軸，y軸と交わる点を，それぞれQ，Rとするとき，△OQRの面積は一定であることを示せ。ただし，Oは原点とする【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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曲線 $xy=k\ (k\ne0)$ 上の任意の点 P における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点を、それぞれ Q、R とするとき、$\triangle OQR$ の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。
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曲線 $xy=k\ (k\ne0)$ 上の任意の点 P における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点を、それぞれ Q、R とするとき、$\triangle OQR$ の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。
2つの曲線y=x²、y=1/xに共通な接線の方程式を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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2つの曲線 $y=x^2,\ y=\dfrac{1}{x}$ に共通な接線の方程式を求めよ。
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2つの曲線 $y=x^2,\ y=\dfrac{1}{x}$ に共通な接線の方程式を求めよ。
2つの曲線 y=ax²+b と y=1/x² が点(√2，1/2)で交わり、この点における接線が直交するとき、定数a，bの値を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
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2つの曲線 $y=ax^2+b$ と $y=\dfrac{1}{x^2}$ が点 $(\sqrt{2},\dfrac{1}{2})$ で交わり、この点における接線が直交するとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
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2つの曲線 $y=ax^2+b$ と $y=\dfrac{1}{x^2}$ が点 $(\sqrt{2},\dfrac{1}{2})$ で交わり、この点における接線が直交するとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。
2つの曲線 y=ax³ と y=3log x が共有点Pをもち、その点において共通の接線をもつとき定数aの値を求めよ。また、その共有点における接線の方程式を求めよ【数Ⅲ】【微分とその応用｜接線と法線】
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2つの曲線 $y=ax^2$ と $y=3\log x$ が共有点 P をもち、その点において共通の接線をもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、その共有点における接線の方程式を求めよ。
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2つの曲線 $y=ax^2$ と $y=3\log x$ が共有点 P をもち、その点において共通の接線をもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、その共有点における接線の方程式を求めよ。
【数Ⅲ】【近似値】|x|が十分小さいとき、次の関数の2次の近似式を作れ。(1)(1+x)⁴(2)1/1-x(3)xe^x
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$|x|$ が十分小さいとき、次の関数の 2 次の近似式を作れ。
(1) $(1+x)^4$
(2) $\frac{1}{1-x}$
(3) $xe^x$
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$|x|$ が十分小さいとき、次の関数の 2 次の近似式を作れ。
(1) $(1+x)^4$
(2) $\frac{1}{1-x}$
(3) $xe^x$
【数Ⅲ】【微分】xy平面上に、媒介変数tで表された曲線C:x=e^t-e^-t, y=e^3t+e^-3tがある。曲線Cの概形をかけ。
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$xy$ 平面上に、媒介変数 $t$ で表された曲線
$C:\;x=e^t-e^{-t},\;y=e^{3t}+e^{-3t}$
がある。曲線 $C$ の概形をかけ。
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$xy$ 平面上に、媒介変数 $t$ で表された曲線
$C:\;x=e^t-e^{-t},\;y=e^{3t}+e^{-3t}$
がある。曲線 $C$ の概形をかけ。
【数Ⅲ】【微分】次の曲線の概形をかけ。(1) y²=x²(4-x²)(2) y²=x²(x+1)
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線の概形をかけ。
(1) $y^2=x^2(4-x^2)$
(2) $y^2=x^2(x+1)$
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次の曲線の概形をかけ。
(1) $y^2=x^2(4-x^2)$
(2) $y^2=x^2(x+1)$
【数Ⅲ】【微分】次の関数のグラフの概形をかけ。(1) y=log|logx-1|(2) y=2+sinx/cosx(0≦x≦2π)
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフの概形をかけ。
(1) $y=\log|\log x-1|$
(2) $y=\dfrac{2+\sin x}{\cos x}$（$0\le x\le 2\pi$）
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次の関数のグラフの概形をかけ。
(1) $y=\log|\log x-1|$
(2) $y=\dfrac{2+\sin x}{\cos x}$（$0\le x\le 2\pi$）
【数Ⅲ】【微分】f(x)を微分可能な関数とし、 a≠0 とする。関数y=f(x)/xが x=a において極値を取るとき、曲線y=f(x)の点(a,f(a))における接線は原点を通ることを証明せよ。
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)$ を微分可能な関数とし、$a\ne 0$ とする。
関数 $y=\dfrac{f(x)}{x}$ が $x=a$ において極値をとるとき、
曲線 $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ における接線は原点を
通ることを証明せよ。
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$f(x)$ を微分可能な関数とし、$a\ne 0$ とする。
関数 $y=\dfrac{f(x)}{x}$ が $x=a$ において極値をとるとき、
曲線 $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ における接線は原点を
通ることを証明せよ。