重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}

z ≧ 0

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

z ≧ 0

xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#積分とその応用#2次曲線#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}

z ≧ 0

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

z ≧ 0

xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

投稿日：2020.11.05

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

II

　軌跡(9)　媒介変数表示(2)
tが実数値をとって変化するとき、

x = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} y = \frac{2 t}{t^{2} + 1}

はどんな曲線を表すか。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。

x^{2} + 4 y^{2} = 1, x > 0, y > 0

PをC上の点とする。PでCに接する直線をlとし、Pを通りlと垂直な直線を
mとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする。PがC
上の点全体をうごくとき、Sの最大値とその時のPの座標を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

極方程式
r=4sinθ+6cosθ
で表される図形を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標

(r, θ)

を考える。

k > 0

として、極方程式

r (\sqrt{\cos θ} + \sqrt{\sin θ})^{2} = k (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C (k)

とする。曲線

C (k)

上の点を直交座標

(x, y)

で表せばxの
とりうる値の範囲は、

ア ≦ x ≦ イ

である。
曲線

C (k)

とx軸、y軸で囲まれた図形の面積を

S (k)

とおけば、

S (k) = ウ

でなる。直交座標が

(\frac{k}{4}, \frac{k}{4})

である曲線

C (k)

上の点Aにおける曲線

C (k)

の接線l
の方程式は、

y = エ

となる。曲線

C (k)

と直線l、およびx軸で囲まれた
図形の面積を

T (k)

とおけば、

S (k) = オ T (k)

が成り立つ。

0 < m < n

を
満たす実数

m, n

に対して、

S (n) - S (m)

が

T (n)

と等しくなるのは、

\frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{カ}{キ}

のときである。

イ 、 ウ

の解答群

⓪ \sqrt{k} ① k ② k^{2} ③ \frac{\sqrt{2}}{2} ④ \frac{\sqrt{2}}{3}

⑤ \frac{k}{2} ⑥ \frac{k}{3} ⑦ \frac{k^{2}}{4} ⑧ \frac{k^{2}}{5} ⑨ \frac{k^{2}}{6}

エ

の解答群

⓪ x + \frac{k}{2} ① x + \frac{k}{4} ② - x + \frac{k}{2} ③ - x + \frac{k}{4} ④ 2 x - \frac{k}{2}

⑤ 2 x - \frac{k}{4} ⑥ 2 x - \frac{3 k}{4} ⑦ - 2 x + \frac{k}{2} ⑧ - 2 x + \frac{k}{4} ⑨ - 2 x + \frac{3 k}{4}

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