大学入試問題#146 東京工業大学(1966) 定積分 - 質問解決D.B.（データベース）

大学入試問題#146　東京工業大学(1966)　定積分

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π} x e^{x} \sin x d x

を計算せよ。

出典：1966年東京工業大学　入試問題

チャプター：

05:25~　解答のみ掲載　約10秒間隔

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π} x e^{x} \sin x d x

を計算せよ。

出典：1966年東京工業大学　入試問題

投稿日：2022.03.20

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

e

を自然対数の底とする。

e

=2.718...である。
(1)0≦

x

≦1において不等式1+

x

≦

e^{x}

≦1+2

x

が成り立つことを示せ。
(2)

n

を自然数とするとき、0≦

x

≦1において不等式

\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}

≦

e^{x}

≦

\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \frac{x^{n}}{n!}

が成り立つことを示せ。
(3)0≦

x

≦1を定義域とする関数

f (x)

を

f (x)

{\begin{matrix} 1 (x = 0) \\ \frac{e^{x} - 1}{x} (0 ＜ x ≦ 1) \end{matrix}

と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分

\int_{0}^{1} f (x) d x

　の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が

10^{- 3}

以下である理由を説明せよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} θ \cos 2 θ d θ

出典：1994年横浜国立大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} d x

出典：大正14年東京大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π} x \cos^{2} x \sin x d x

を求めよ。

出典：東海大学医学部　入試問題

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【富山大学 2023】
(1)

t = t a n \frac{x}{2} (- π ＜ x ＜ π)

とおく。
この時、

s i n x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}, c o s x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \frac{d x}{d t} = \frac{2}{1 + t^{2}}

であることを示せ。
(2) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{1 + s i n x + c o s x}

を求めよ。
(3) ２つの定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x, \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 c o s x}{1 + s i n x + c o s x} d x

が等しいことを示せ。
(4) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x

を求めよ。
(5) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x

を求めよ。

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