問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}\frac{sin\frac{x}{2}}{1+sin\frac{x}{2}}dx$
これを解け.

問題文全文(内容文)：
【東北大学 2024】
$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C:x^2+y^2=1$および円板$D:x²+y²≦1$を考える。$D$を底面とし点$P(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする。$A(0,-1,0),B(0,1,0)$とする。$xyz$空間内の平面$H:z=x$を考える。すなわち、$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$AB$をともに含む平面である。$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする。$\displaystyle -\frac{π}{2}≦θ≦\frac{π}{2}$を満たす実数$θ$に対し、円$C$上の点$Q(cosθ,sinθ,0)$をとり、線分$PQ$と$E$の共有点を$R$とする。
(1) 線分$PR$の長さを$r(θ)$とおく。$r(θ)$を$θ$を用いて表せ。
(2)円錐$K$の側面のうち、曲線$E$の点$A$から点$R$までを結ぶ部分、線分$PA$,および線分$PR$により囲まれた部分の面積を$S(θ)$とおく。$θ$と実数$h$が条件$\displaystyle 0≦θ＜θ+h≦\frac{π}{2}$を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle \frac{h\{{r(θ)}\}^2}{2\sqrt{2}}≦S(θ+h)-S(θ)≦\frac{h\{{r(θ+h)\}}^2}{2\sqrt{2}}$
(3) 円錐$K$の側面のうち、円$C$の$x≧0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく。$T$を求めよ。必要であれば$\displaystyle tan\frac{θ}{2}=u$とおく置換積分を用いてもよい。

問題文全文(内容文)：
$\fbox{3} f(x)$を連続関数とするとき、次の各問いに答えよ。
(1)次の等式を示せ。$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(\sin 2x)\sin x dx=\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(\sin 2x)\cos x dx$
(2)次の等式を示せ。$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(\sin 2x)(\sin x+\cos x) dx=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(1-t^2)dt$
(3)次の定積分の値を求めよ。$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\sin x}{1+\sqrt{\sin 2x}} dx$

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{2}^{3} \displaystyle \frac{x^3+2}{x-1} dx$

出典2013年岡山県立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
【秋田大学 2023】
座標平面上に媒介変数$θ$を用いて
$x=2cosθ, y=1+sinθ$
と表される曲線$C$がある。次の問いに答えなさい。
(i) 媒介変数$θ$を消去して$x$と$y$の関係式を求めなさい。
(ii) $\displaystyle θ=\frac{π}{6}$に対応する点における$C$の接線$l$の方程式を求めなさい。
(iii) 曲線$C$と(ii)の接線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。