数学「大学入試良問集」【19−9 定積分と不等式の証明】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
（1）

0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}

のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

\frac{2 x}{π} ≦ \sin x

（2）
次の不等式が成り立つことを証明せよ。

\int_{0}^{π} e^{- \sin x} d x ≦ π [1 - \frac{1}{e}]

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#和歌山大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
（1）

0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}

のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

\frac{2 x}{π} ≦ \sin x

（2）
次の不等式が成り立つことを証明せよ。

\int_{0}^{π} e^{- \sin x} d x ≦ π [1 - \frac{1}{e}]

投稿日：2021.09.03

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単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#定積分#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \sqrt{\frac{x}{1 + x}} (0 ≦ x ≦ 1)

（1）
逆関数

f^{- 1} (x)

を求めよ。

（2）

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\sin x - \sin^{2} x} d x

（3）

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\sin^{3} x - \sin^{4} x} d x

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【新潟大学 2023】

a, b

を正の数とし、座標平面上の曲線

C_{1} : y = e^{a x}, C_{2} : y = \sqrt{2 x - b}

を考える。次の問いに答えよ。
(1)関数

y = e^{a x}

,と関数

y = \sqrt{2 x - b}

の導関数を求めよ。
(2)曲線

C_{1}

と曲線

C_{2}

が1点

P

を共有し、その点において共通の接線をもつとする。この時,

b

と点

P

の座標を

a

を用いて表せ。
(3) (2)において、曲線

C_{1}

,曲線

C_{2}

x

軸,

y

軸で囲まれる図形の面積を

a

を用いて表せ。

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【数Ⅲ-154】定積分の置換積分法③

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分の置換積分法③)
Q次の定積分を求めよ。

①

\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} x^{2} \sin x d x

➁

\int_{- 1}^{1} \frac{1 - x}{1 + x^{2}} d x

③

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} x d x

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単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#不定積分#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(x - 1)^{7} - (x^{7} - 1)

を実数係数の範囲で因数分解せよ

出典：数検1級1次

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{4} \frac{d x}{\sqrt{3 - \sqrt{x}}}

これを解け.

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