福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積

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問題文全文(内容文)：

1

　媒介変数表示

x = \frac{2}{\cos θ}, y = 3 \tan θ + 1

で表される図形Cを考える。

(1)Cは頂点

(\pm ア, イ)

、焦点

(\pm \sqrt{ウ}, エ)

、
漸近線

y = \pm \frac{オ}{カ} x + キ

をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線

x = 4

は、2点

(4, ク \pm ケ \sqrt{コ})

で交わる。\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi　である。
\end{eqnarray}

2021上智大学理工学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　媒介変数表示

x = \frac{2}{\cos θ}, y = 3 \tan θ + 1

で表される図形Cを考える。

(1)Cは頂点

(\pm ア, イ)

、焦点

(\pm \sqrt{ウ}, エ)

、
漸近線

y = \pm \frac{オ}{カ} x + キ

をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線

x = 4

は、2点

(4, ク \pm ケ \sqrt{コ})

投稿日：2021.08.24

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標

(r, θ)

を考える。

k > 0

として、極方程式

r (\sqrt{\cos θ} + \sqrt{\sin θ})^{2} = k (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C (k)

とする。曲線

C (k)

上の点を直交座標

(x, y)

で表せばxの
とりうる値の範囲は、

ア ≦ x ≦ イ

である。
曲線

C (k)

とx軸、y軸で囲まれた図形の面積を

S (k)

とおけば、

S (k) = ウ

でなる。直交座標が

(\frac{k}{4}, \frac{k}{4})

である曲線

C (k)

上の点Aにおける曲線

C (k)

の接線l
の方程式は、

y = エ

となる。曲線

C (k)

と直線l、およびx軸で囲まれた
図形の面積を

T (k)

とおけば、

S (k) = オ T (k)

が成り立つ。

0 < m < n

を
満たす実数

m, n

に対して、

S (n) - S (m)

が

T (n)

と等しくなるのは、

\frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{カ}{キ}

のときである。

イ 、 ウ

の解答群

⓪ \sqrt{k} ① k ② k^{2} ③ \frac{\sqrt{2}}{2} ④ \frac{\sqrt{2}}{3}

⑤ \frac{k}{2} ⑥ \frac{k}{3} ⑦ \frac{k^{2}}{4} ⑧ \frac{k^{2}}{5} ⑨ \frac{k^{2}}{6}

エ

の解答群

⓪ x + \frac{k}{2} ① x + \frac{k}{4} ② - x + \frac{k}{2} ③ - x + \frac{k}{4} ④ 2 x - \frac{k}{2}

⑤ 2 x - \frac{k}{4} ⑥ 2 x - \frac{3 k}{4} ⑦ - 2 x + \frac{k}{2} ⑧ - 2 x + \frac{k}{4} ⑨ - 2 x + \frac{3 k}{4}

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜早稲田大学2021年社会科学部第１問〜三角関数で表された点の軌跡

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　a,bを定数とし、関数

f (x) = x^{2} + a x + b

　とする。方程式

f (x) = 0

の2つの解

α, β

が次式で与えられている。

α = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ}

β = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ}

ここで

θ

は、

0 < θ < π

の定数である。次の問いに答えよ。

(1) a, b

を

θ

を用いて表せ。

(2) θ

が

0

< θ π

で変化するとき、放物線

y = f (x)

の頂点の軌跡を求めよ。

(3) \int_{0}^{2 \sin θ} f (x) d x = 0

　となる

θ

の値を全て求めよ。

2021早稲田大学社会科学部過去問

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福田のわかった数学〜高校３年生理系070〜接線(2)媒介変数表示の接線

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

接線(2)　媒介変数表示の接線

{\begin{matrix} x = θ - \sin θ \\ y = 1 - \cos θ \end{matrix}

で表される曲線の

θ = \frac{3 π}{2}

のときの点Pにおける接線を求めよ。

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大学入試問題#522「これ初見はきつそう」　信州大学2001　#面積

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ θ ≦ 2 π

曲線

x = \cos^{3} θ, y = \sin^{3} θ

で囲まれた面積を求めよ

出典：2001年信州大学後期　入試問題

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、tを媒介変数として

x = e^{t} \cos t + e^{π}, y = e^{t} \sin t (0 ≦ t ≦ π)

と表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022大阪大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積

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