福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜慶應義塾大学理工学部2020第5問〜平面ベクトルと面積比

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問題文全文(内容文)：

5

平行四辺形

A B C D

において、

A B = 2, B C = 3

とし、対角線

A C

の長さを

4

とする。辺

A B, B C, C D, D A

上にそれぞれ点

E, F, G, H

を

A E = B F = C G = D H = x

を満たすようにとる。ただし、

x

は

0 x < 2

の範囲を動くとする。さらに、対角線

A C

上に点

P

を

A P = x^{2}

を満たすようにとる。以下では、平行四辺形

A B C D

の面積を

S

とする。
(1)

△

A E P

の面積を

T_{1}

とする。

\frac{T_{1}}{S}

は、

x

を用いて表すと

テ

となる。
(2)

△

E F P

の面積を

T_{2}

とする。

\frac{T_{2}}{S}

は、

x =

ト

のとき最大値

ナ

をとる。
(3)

△

G H P

の面積を

T_{3}

とする。

\frac{T_{3}}{S}

となるのは

x =

ニ

のときである。
(4) 点

P

が線分

E H

上にあるのは

x =

ヌ

のときである。

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

平行四辺形

A B C D

において、

A B = 2, B C = 3

とし、対角線

A C

の長さを

4

とする。辺

A B, B C, C D, D A

上にそれぞれ点

E, F, G, H

を

A E = B F = C G = D H = x

を満たすようにとる。ただし、

x

は

0 x < 2

の範囲を動くとする。さらに、対角線

A C

上に点

P

を

A P = x^{2}

を満たすようにとる。以下では、平行四辺形

A B C D

の面積を

S

とする。
(1)

△

A E P

の面積を

T_{1}

とする。

\frac{T_{1}}{S}

は、

x

を用いて表すと

テ

となる。
(2)

△

E F P

の面積を

T_{2}

とする。

\frac{T_{2}}{S}

は、

x =

ト

のとき最大値

ナ

をとる。
(3)

△

G H P

の面積を

T_{3}

とする。

\frac{T_{3}}{S}

となるのは

x =

ニ

のときである。
(4) 点

P

が線分

E H

上にあるのは

x =

ヌ

のときである。

投稿日：2025.01.17

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問題文全文(内容文)：

(\sqrt{n^{2} - 9 n + 19})^{n^{2} + 5 n - 14} = 1

を満たす自然数

n

をすべて求めよ。

出典：2021年昭和大学医学部　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
実数全体で定義された連続関数

f (x)

が、すべての実数

x

に対して

f (x) > 0,

かつ

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{(t^{2} + 1) f (t)} d t + 1

を満たすとき、

f (x)

を求めよ。

出典：2024年横浜国立大学

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

の初項から第n項までの和

S_{n}

、数列

{b_{n}}

の初項から第n項までの和

T_{n}

はそれぞれ

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}_{n} C_{k}, T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k ・_{n} C_{k}

で表される。
(1)

x > y ≧ 1

を満たす自然数x,yについて、

_{x} C_{y} =_{x - 1} C_{y} +_{i} C_{j}, y ・_{x} C_{y} = x ・_{p} C_{q},

が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、

i = ス, j = セ,

p = ソ, q = タ

である。
(2)

a_{2}, b_{4}

の値をそれぞれ求めると

a_{2} = チ, b_{4} = ツ

である。
(3)

S_{n}, a_{n}

をそれぞれnの式で表すと、

S_{n} = テ, a_{n} = ト

である。
(4)

b_{n}

をnの式で表すと、

b_{n} = ナ

である。

2022慶應義塾大学薬学部過去問

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \cos x} d x

出典：2012年神戸大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：

\int_{- 1}^{7} \frac{d x}{1 + \sqrt[3]{1 + x}}

を計算せよ。

出典：2009年岡山県立大学　入試問題

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