問題文全文(内容文)：
$n$ を $3$ 以上の整数とする。$1, \, 2, \, \ldots, \, n$ の数が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードがある。これらをよく混ぜて1枚のカードを引き、そこに書かれた数を $X$ とする。そのカードを元に戻し、よく混ぜてからもう一度1枚のカードを引き、そこに書かれた数を $Y$ とする。このとき $X-Y$ が $3$ の倍数である確率を $p(n)$、$X-Y-1$ が $3$ の倍数である確率を $q(n)$、$X-Y+1$ が $3$ の倍数である確率を $r(n)$ とする。
$(1)$ $q(3)=\fbox{ク}$ である。
$(2)$ $r(n)$ は $q(n)$ を用いて $r(n)=\fbox{ケ}$ と表せる。
$(3)$ $n$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$ が成り立つ。
$(4)$ $n-1$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$ が成り立つ。
$(5)$ $n-2$ が $3$ の倍数であるとき、$p(n)=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$ が成り立つ。

問題文全文(内容文)：
甲、乙2人でそれぞれ勝つ確率が下の表で示されるゲームを続けて行う。
甲乙のどちらか一方が続けて2度ゲームに勝った時は試合を終了し、2度続けて勝ったものが勝者となる。
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 第1回目のゲーム & 甲が勝ったゲーム & 乙が勝ったゲーム \\
\hline
甲の勝つ確率 & \displaystyle \frac{2}{3} & \displaystyle \frac{2}{3} & \displaystyle \frac{1}{5} \\
\hline
乙の勝つゲーム & \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{4}{5}
\end{array}$

（1）
3回以内のゲームで試合が終了する確率を求めよ。

（2）
4回のゲームで試合が終了することが分かっている。
このとき、甲が勝者となっている確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2010東京工業大学過去問題
1~nの自然数から任意の2つの数を選んだとき、小さい方の数が3の倍数である確率をP(n)とする。
(1)P(8)を求めよ。
(2)P(3k+2)をkで表せ

問題文全文(内容文)：
図は動画参照
$AP=19,BP=26,CQ=37,DQ=23$
内接円の半径は？

問題文全文(内容文)：
数列$\left\{a_n\right\}$を次のように定める。
$a_1=1,　　a_{n+1}=a_n^2+1　　(n=1,2,3,\ldots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき、$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)k,nを正の整数とする。$a_n$が$a_k$の倍数となるための必要十分条件をk,nを
用いて表せ。
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。

2022東京大学理系過去問