図形の性質
図形の性質
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとする。角Ｂの内部の傍接円ＩＢの半径はＡＤに等しいことを証明せよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$AB=AC\ である二等辺三角形\ ABC\ の頂点\ A\ から辺\ BC\ に下ろした垂線を\ AD\ とする。$
$\angle B\ の内部の傍接円\ I_{B}\ の半径は\ AD\ に等しいことを証明せよ。$
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$AB=AC\ である二等辺三角形\ ABC\ の頂点\ A\ から辺\ BC\ に下ろした垂線を\ AD\ とする。$
$\angle B\ の内部の傍接円\ I_{B}\ の半径は\ AD\ に等しいことを証明せよ。$
三角形ABCの内心をI、角Aの内部の傍心をＩ₁とする時、次の問いに答えよ。（１）角ＩＢＩ₁の大きさを求めよ。ほか【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC\ の内心を\ I,\ \angle A\ の内部の傍心を\ I_{1}\ とするとき,\ 次の問いに答えよ。\\$
$(1)\ \angle IBI_{1}\ の大きさを求めよ。\\$
$(2)\ \triangle ABC\ の外接円は線分\ II_{1}\ を二等分することを証明せよ。$
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$\triangle ABC\ の内心を\ I,\ \angle A\ の内部の傍心を\ I_{1}\ とするとき,\ 次の問いに答えよ。\\$
$(1)\ \angle IBI_{1}\ の大きさを求めよ。\\$
$(2)\ \triangle ABC\ の外接円は線分\ II_{1}\ を二等分することを証明せよ。$
三角形ABCの内心をIとし、3辺BC、CA、ABに関してIと対称な点をそれぞれP,Q,Rとする。Iは三角形PQRについてどのような点か？【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC\ の内心を\ I\ とし,\ 3辺\ BC,\ CA,\ AB\ に関して\ I\ と対称な点を$
$それぞれ\ P,\ Q,\ R\ とする。\ I\ は\triangle PQR\ についてどのような点か。$
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$\triangle ABC\ の内心を\ I\ とし,\ 3辺\ BC,\ CA,\ AB\ に関して\ I\ と対称な点を$
$それぞれ\ P,\ Q,\ R\ とする。\ I\ は\triangle PQR\ についてどのような点か。$
図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
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図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
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三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。（以下略）【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
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図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。
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外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。
【数Ⅰ】【図形の性質】長さ、bの2つの線分が与えられたとき、2次方程式 x ²- ax - b² = 0 の正の解を長さとする線分を作図せよ。
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
長さa、bの2つの線分が与えられたとき、2次方程式 x ²- ax - b² = 0 の正の解を長さとする線分を作図せよ。
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長さa、bの2つの線分が与えられたとき、2次方程式 x ²- ax - b² = 0 の正の解を長さとする線分を作図せよ。
【数Ⅰ】【図形の性質】AB = ACの二等辺三角形ABCとその外接円がある。図のように、弧BC上に点Dをとり、2直線 AD、BCの交点をEとする。AD・AE = AB²であることを証明せよ。
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
AB = ACの二等辺三角形ABCとその外接円がある。 図のように、弧BC上に点Dをとり、2直線 AD、BCの交点をEとする。 AD・AE = AB²であることを証明せよ。
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AB = ACの二等辺三角形ABCとその外接円がある。 図のように、弧BC上に点Dをとり、2直線 AD、BCの交点をEとする。 AD・AE = AB²であることを証明せよ。
【数Ⅰ】【図形の性質】鋭角三角形ABCの辺BCを直径とする円Oと、 辺AB, ACとの交点を、それぞれP、Qとする。 このとき、OPは外接円に接することを証明せよ。
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【数Ⅰ】【図形の性質】鋭角三角形ABCの辺BCを直径とする円Oと、 辺AB, ACとの交点を、それぞれP、Qとする。 このとき、OPは外接円に接することを証明せよ。
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【数Ⅰ】【図形の性質】鋭角三角形ABCの辺BCを直径とする円Oと、 辺AB, ACとの交点を、それぞれP、Qとする。 このとき、OPは外接円に接することを証明せよ。
【数Ⅰ】【図形の性質】平行四辺形ABCDの内部の点Pから各辺に平行な直線を引き、辺AB、BC、CD、DAとの交点をそれぞれE、F、G、Hとする。BG、DFの交点をQとするとき、3点A、P、Qは1つの直線上にあることを証明せよ。
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平行四辺形ABCDの内部の点Pから各辺に平行な直線を引き、辺AB、BC、CD、DAとの交点をそれぞれE、F、G、Hとする。BG、DFの交点をQとするとき、3点A、P、Qは1つの直線上にあることを証明せよ。
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平行四辺形ABCDの内部の点Pから各辺に平行な直線を引き、辺AB、BC、CD、DAとの交点をそれぞれE、F、G、Hとする。BG、DFの交点をQとするとき、3点A、P、Qは1つの直線上にあることを証明せよ。
【数Ⅰ】【図形の性質】△ABCの点P、∠BPC ∠CPA、∠APBの二等分線がそれぞれ辺BC、 CA、 AB と交わる点をD、 E、 Fとする。このときAD、 BE、 CFは1点で交わることを証明せよ
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
△ABCの内部の任意の点をPとする∠BPC ∠CPA、 ∠APBの二等分線がそれぞれ辺BC、 CA、 AB と交わる点をD、 E、 Fとする。このとき、AD、 BE、 CFは1点で交わることを証明せよ。
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△ABCの内部の任意の点をPとする∠BPC ∠CPA、 ∠APBの二等分線がそれぞれ辺BC、 CA、 AB と交わる点をD、 E、 Fとする。このとき、AD、 BE、 CFは1点で交わることを証明せよ。
【学んで得する】「色のついた部分の面積は？」#算数 #中学入試 #数学 #高校入試 #受験 #受験生 #面積 #面白い #勉強 #勉強垢 #頭の体操
三角って実はすごい図形？
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#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
トラス構造などの解説をしていきます。
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トラス構造などの解説をしていきます。
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第3問〜三角形を一辺を軸として回転させたときの回転体の体積の最大
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
空間内の異なる$4$点
$A,B,C,D$が$AD=BC=2$、
$AB=CD=1$を満たし、線分$AD$と線分$BC$が
点$P$のみで交わり、$P$は$AD$と$BC$をそれぞれ
$AP:PD=s:(1-s),$
$BP:PC=t:(1-t) \ (0\lt s \lt t,0\lt t \lt 1)$
に内分しているとする。次の問いに答えよ。
(1)$s$を$t$を用いて表せ。
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)線分$BC$を軸にして$\triangle ABP$を$1$回転させるとき、
$\triangle ABP$の辺と内部が通過する部分の体積を
$V$とする。$V$の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{3}$
空間内の異なる$4$点
$A,B,C,D$が$AD=BC=2$、
$AB=CD=1$を満たし、線分$AD$と線分$BC$が
点$P$のみで交わり、$P$は$AD$と$BC$をそれぞれ
$AP:PD=s:(1-s),$
$BP:PC=t:(1-t) \ (0\lt s \lt t,0\lt t \lt 1)$
に内分しているとする。次の問いに答えよ。
(1)$s$を$t$を用いて表せ。
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)線分$BC$を軸にして$\triangle ABP$を$1$回転させるとき、
$\triangle ABP$の辺と内部が通過する部分の体積を
$V$とする。$V$の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田の数学〜千葉大学2024年理系第8問〜4つの円の位置関係と極限
単元：
#数A#図形の性質#関数と極限#数列の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図は動画参照
半径$1$、中心$O$の円$C$がある。2つの円$C_1$と$C_2$が次の2つの条件を満たすとする。
・$C_1$と$C_2$はどちらも$C$に内接する。
・$C_1$と$C_2$は互いに外接する。
円$C_1,\ C_2$の中心をそれぞれ$D,\ E$とし、半径をそれぞれ$p,\ q$とする。$\theta= \angle{DOE}$とおく。
(1) $q$を$p$と$\theta$を用いて表せ。
(2) $p$を固定する。$\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{theta^2}$の極限値を求めよ。
(3) $p= \sqrt{2}-1$のとき、$q$の値を求めよ。
(4) $\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{p}$の極限値を求めよ。
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図は動画参照
半径$1$、中心$O$の円$C$がある。2つの円$C_1$と$C_2$が次の2つの条件を満たすとする。
・$C_1$と$C_2$はどちらも$C$に内接する。
・$C_1$と$C_2$は互いに外接する。
円$C_1,\ C_2$の中心をそれぞれ$D,\ E$とし、半径をそれぞれ$p,\ q$とする。$\theta= \angle{DOE}$とおく。
(1) $q$を$p$と$\theta$を用いて表せ。
(2) $p$を固定する。$\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{theta^2}$の極限値を求めよ。
(3) $p= \sqrt{2}-1$のとき、$q$の値を求めよ。
(4) $\theta$が$0$に近づくとき、$\dfrac{q}{p}$の極限値を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第1問(4)〜正九角形の頂点を結んでできる正三角形の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#図形の性質#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)$P$を平面上の正九角形とする。
$P$の異なる$2$つの頂点を通る直線をすべて考える。
これら$36$本の直線のうちの$3$本により平面上で
囲まれてできる正三角形の総数は$\boxed{エ}$である。
ただし、互いに合同でも位置の異なるものは
異なる三角形として数える。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
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$\boxed{1}$
(4)$P$を平面上の正九角形とする。
$P$の異なる$2$つの頂点を通る直線をすべて考える。
これら$36$本の直線のうちの$3$本により平面上で
囲まれてできる正三角形の総数は$\boxed{エ}$である。
ただし、互いに合同でも位置の異なるものは
異なる三角形として数える。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田のおもしろ数学559〜3Xnのタイルを2つの図形で覆うことができるためのnの条件
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図のような$3\times n$のタイルを(動画を参照)の
$2$種類の図形を重ならないように置いて覆う
ことができるのは$n$がどんな値のときか？
図は動画内参照
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図のような$3\times n$のタイルを(動画を参照)の
$2$種類の図形を重ならないように置いて覆う
ことができるのは$n$がどんな値のときか？
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福田のおもしろ数学558〜長方形を面積の等しい5個の長方形に分割すると合同な長方形が含まれている証明
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
ある長方形を面積の等しい$5$個の長方形に
分割する。
このとき、少なくとも$2$個は
合同であることを証明せよ。
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ある長方形を面積の等しい$5$個の長方形に
分割する。
このとき、少なくとも$2$個は
合同であることを証明せよ。
福田のおもしろ数学556〜直角三角形の内接円の接点が斜辺を分ける長さと面積
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図のような直角三角形の内接円が斜辺を
その接点で$a$と$b$に分けている。
この直角三角形の面積を求めて下さい。
図は動画内参照
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図のような直角三角形の内接円が斜辺を
その接点で$a$と$b$に分けている。
この直角三角形の面積を求めて下さい。
図は動画内参照
福田の数学〜九州大学2025理系第4問〜平面幾何の証明
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
半径$1$の円周上に反時計回りに
点$A,B,C,D$を順にとり、
線分$AD$は直径で、$AC=CD$、
$AB=BC$が成り立つとする。
(1)$\angle ACB$を求めよ。
(2)$BC$を求めよ。
(3)線分$AC$と線分$BD$の交点を$E$とするとき、
三角形$BCE$の面積を求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
半径$1$の円周上に反時計回りに
点$A,B,C,D$を順にとり、
線分$AD$は直径で、$AC=CD$、
$AB=BC$が成り立つとする。
(1)$\angle ACB$を求めよ。
(2)$BC$を求めよ。
(3)線分$AC$と線分$BD$の交点を$E$とするとき、
三角形$BCE$の面積を求めよ。
$2025$年九州大学理系過去問題
福田の数学〜神戸大学2025理系第4問〜空間ベクトルと三角形の面積の最小
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$s,t$を実数とする。座標空間に$3$点
$A(-4,-1,0),B(-3,0,-1),P(s,t,-2s+t-1)$がある。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$A,B,P$は一直線上にないことを示せ。
(2)点$P$から直線$AB$に下ろした垂線を$PH$とする。
点$H$の座標を$s$を用いて表せ。
(3)$s,t$が変化するとき、
三角形$ABP$の面積の最小値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$s,t$を実数とする。座標空間に$3$点
$A(-4,-1,0),B(-3,0,-1),P(s,t,-2s+t-1)$がある。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$A,B,P$は一直線上にないことを示せ。
(2)点$P$から直線$AB$に下ろした垂線を$PH$とする。
点$H$の座標を$s$を用いて表せ。
(3)$s,t$が変化するとき、
三角形$ABP$の面積の最小値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田のおもしろ数学533〜凸四角形の性質に関する証明
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#式と証明#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
凸四角形$ABCD$において
$\angle CBD = 2\angle ADB,\angle ABD = 2\angle CDB,AB=CB$
のとき、
$AD=CD$を証明して下さい。
図は動画内参照
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凸四角形$ABCD$において
$\angle CBD = 2\angle ADB,\angle ABD = 2\angle CDB,AB=CB$
のとき、
$AD=CD$を証明して下さい。
図は動画内参照
福田のおもしろ数学531〜三角形に関する命題とその逆
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
左の三角形$ABC$において
$\angle A=3\angle B$
$\Rightarrow (a^2-b^2)(a-b)=bc^2$
が成り立つことを示せ。
また、逆は成り立つか？
図は動画内参照
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左の三角形$ABC$において
$\angle A=3\angle B$
$\Rightarrow (a^2-b^2)(a-b)=bc^2$
が成り立つことを示せ。
また、逆は成り立つか？
図は動画内参照
福田のおもしろ数学507〜三角形の面がm個ありどの頂点にも4本の辺が集まる多面体
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
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ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(1)〜三角形の面積と線分の長さ
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学485〜三角形の内部の点から下ろした垂線の長さと最小値
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$の内部の点$P$から辺$BC,CA,AB$へ
下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。
$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$
を最小とする$P$を決定せよ。
図は動画内参照
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$\triangle ABC$の内部の点$P$から辺$BC,CA,AB$へ
下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。
$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$
を最小とする$P$を決定せよ。
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福田のおもしろ数学483〜直角に曲がった廊下を曲がれる棒の長さの最大値
単元：
#数Ⅰ#数A#図形の性質#図形と計量#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
棒を水平に持って、幅$a$の廊下から、
それに直角な幅$b$の廊下に曲がりたい。
これが可能であるための
棒の長さの最大値を求めて下さい。
図は動画内参照
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棒を水平に持って、幅$a$の廊下から、
それに直角な幅$b$の廊下に曲がりたい。
これが可能であるための
棒の長さの最大値を求めて下さい。
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福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第4問〜4つの互いに外接する球面の中心が作る四面体の体積
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
空間内に原点$O$を中心とする半径$r$の球面$S$がある。
さらに、半径が$1,2,3$の球面$S_1,S_2,S_3$があり、
これら$4$つの球面のうち
どの$2$つの球面も互いに外接している。
$S_1,S_2,S_3$中心を順に$P_1,P_2,P_3$とし、
$O,P_1,P_2,P_3$は同一平面上にないとする。
さらに、球面$S$が球面$S_1,S_2,S_3$と
接する$3$つの点と、
$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3})$
により定まる点$Q$は、同一平面上にあるとする。
次の問いに答えよ。
(1)$r$の値を求めよ。
(2)四面体$OP_1P_2P_3$の体積を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{4}$
空間内に原点$O$を中心とする半径$r$の球面$S$がある。
さらに、半径が$1,2,3$の球面$S_1,S_2,S_3$があり、
これら$4$つの球面のうち
どの$2$つの球面も互いに外接している。
$S_1,S_2,S_3$中心を順に$P_1,P_2,P_3$とし、
$O,P_1,P_2,P_3$は同一平面上にないとする。
さらに、球面$S$が球面$S_1,S_2,S_3$と
接する$3$つの点と、
$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3})$
により定まる点$Q$は、同一平面上にあるとする。
次の問いに答えよ。
(1)$r$の値を求めよ。
(2)四面体$OP_1P_2P_3$の体積を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題