図形の性質
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【数A｜図形の性質】BCを斜辺とする直角三角形ABCと点Pがある。AB＝４、AC＝３のとき、APの長さを次の場合について求めよ。
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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BCを斜辺とする直角三角形ABCと点Pがある。AB＝4，AC＝3のとき，APの長さを次の場合について求めよ。
(1) Pが△ABCの外心のとき
(2) Pが△ABCの垂心のとき
(3) Pが△ABCの重心のとき
(4) Pが△ABCの内心のとき
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BCを斜辺とする直角三角形ABCと点Pがある。AB＝4，AC＝3のとき，APの長さを次の場合について求めよ。
(1) Pが△ABCの外心のとき
(2) Pが△ABCの垂心のとき
(3) Pが△ABCの重心のとき
(4) Pが△ABCの内心のとき
一辺の長さが５の正八面体について、次のものを求めよ。(1)正八面体の体積V (2)正八面体に内接する球の半径ｒ【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
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一辺の長さが $5$ の正八面体について、次のものを求めよ。
(1) 正八面体の体積 $V$
(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$
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一辺の長さが $5$ の正八面体について、次のものを求めよ。
(1) 正八面体の体積 $V$
(2) 正八面体に内接する球の半径 $r$
立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。（以下略）【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。このとき、次の場合について、正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが $10$
(2) 正八面体の1辺の長さが $6$
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立方体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合った面どうしの頂点を結ぶことによって、立方体の中に正八面体ができる。このとき、次の場合について、正八面体の体積を求めよ。
(1) 立方体の1辺の長さが $10$
(2) 正八面体の1辺の長さが $6$
直方体 ABCD-EFGHにおいて，辺AB，AD，AEの長さをそれぞれa，b，cとする。また，頂点Aから直線FHに下ろした垂線をAK とする。（以下略）【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、辺 $AB$、$AD$、$AE$ の長さをそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。また、頂点 $A$ から直線 $FH$ に下ろした垂線を $AK$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $EK\perp FH$ であることを証明せよ。
(2) 垂線 $AK$ の長さを求めよ。
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直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ において、辺 $AB$、$AD$、$AE$ の長さをそれぞれ $a$、$b$、$c$ とする。また、頂点 $A$ から直線 $FH$ に下ろした垂線を $AK$ とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $EK\perp FH$ であることを証明せよ。
(2) 垂線 $AK$ の長さを求めよ。
四面体ABCD において，辺AB と辺CDが垂直ならば，頂点Aから平面BCDに下ろした垂線AHと，頂点Bから平面CDAに下ろした垂線BKは交わることを示せ。【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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四面体 $ABCD$ において、辺 $AB$ と辺 $CD$ が垂直ならば、頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線 $AH$ と、頂点 $B$ から平面 $CDA$ に下ろした垂線 $BK$ は交わることを示せ。ただし、$H$ と $B$、$K$ と $A$ はそれぞれ一致しないものとする。
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四面体 $ABCD$ において、辺 $AB$ と辺 $CD$ が垂直ならば、頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線 $AH$ と、頂点 $B$ から平面 $CDA$ に下ろした垂線 $BK$ は交わることを示せ。ただし、$H$ と $B$、$K$ と $A$ はそれぞれ一致しないものとする。
右の図の立方体について、次の問いに答えよ。(1) 辺BF と垂直な面をすべて答えよ。(2) 平面 BFHD と平行な辺をすべて答えよ。ほか【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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右の図の立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺 $BF$ と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 $BFHD$ と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に、平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面 $ABGH$ と垂直な面をすべて答えよ。
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右の図の立方体について、次の問いに答えよ。
(1) 辺 $BF$ と垂直な面をすべて答えよ。
(2) 平面 $BFHD$ と平行な辺をすべて答えよ。
(3) この立方体に、平行な位置関係にある面は何組あるか。
(4) 平面 $ABGH$ と垂直な面をすべて答えよ。
右の図は，正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形ABCDEF について，辺AB と平行な辺を答えよ。【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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右の図は、正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形 $ABCDEF$ について、辺 $AB$ と平行な辺を答えよ。
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右の図は、正六角柱を底面に平行でない1つの平面で切ったものである。六角形 $ABCDEF$ について、辺 $AB$ と平行な辺を答えよ。
空間内の異なる2つの直線ℓ 、m と異なる2つの平面α,βについて，次の記述は常に正しいか。(1) ℓ⊥α、ｍ⊥αならば、ℓ⊥ｍである。ほか【数A】【図形の性質｜空間図形の応用】
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空間内の異なる2つの直線 $\ell$、$m$ と異なる2つの平面 $\alpha$、$\beta$ について、次の記述は常に正しいか。
(1) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell\perp m$ である。
(2) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\alpha /\!/ \beta$ である。
(3) $\ell /\!/ \alpha$、$m /\!/ \alpha$ ならば、$\ell /\!/ m$ である。
(4) $\ell /\!/ \alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell$ と平行で $m$ と垂直な直線がある。
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空間内の異なる2つの直線 $\ell$、$m$ と異なる2つの平面 $\alpha$、$\beta$ について、次の記述は常に正しいか。
(1) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell\perp m$ である。
(2) $\ell\perp\alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\alpha /\!/ \beta$ である。
(3) $\ell /\!/ \alpha$、$m /\!/ \alpha$ ならば、$\ell /\!/ m$ である。
(4) $\ell /\!/ \alpha$、$m\perp\alpha$ ならば、$\ell$ と平行で $m$ と垂直な直線がある。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。 直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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右の図のように、直線 $l$ と円 $O$ およびその中心が与えられている。直線 $l$ に平行な円 $O$ の接線を作図せよ。
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右の図のように、直線 $l$ と円 $O$ およびその中心が与えられている。直線 $l$ に平行な円 $O$ の接線を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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右の図のような円があり、その周上に点 $A$ がある。$A$ を頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
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右の図のような円があり、その周上に点 $A$ がある。$A$ を頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。【数A】【図形の性質｜作図の応用】
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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線分 $AB$ が与えられたとき、線分 $AB$ を斜辺とし、$\angle BAC=60^{\circ}$ である直角三角形 $ABC$ を作図せよ。
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線分 $AB$ が与えられたとき、線分 $AB$ を斜辺とし、$\angle BAC=60^{\circ}$ である直角三角形 $ABC$ を作図せよ。
図のように，半径3の外接する2円A, Bが、半径8の円Oに内接している。2円A, Bに外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。【数A】【図形の性質｜円の位置関係】
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図のように、半径3の外接する2円 $A$、$B$ が、半径8の円 $O$ に内接している。2円 $A$、$B$ に外接し、円 $O$ に内接する円 $C$ の半径を求めよ。
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図のように、半径3の外接する2円 $A$、$B$ が、半径8の円 $O$ に内接している。2円 $A$、$B$ に外接し、円 $O$ に内接する円 $C$ の半径を求めよ。
数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。（中略）次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。（以下略）【数A】【図形の性質｜円の位置関係】
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図のように、数直線上の原点を中心とする半径3の円 $O$ と、この数直線上を動く点 $P$ を中心とする半径2の円 $P$ がある。$P$ の座標を $t$ とするとき、次の条件を満たす $t$ の値、または $t$ の値の範囲を求めよ。
(1) 2円 $O$、$P$ の共通接線が4本引ける。
(2) 2円 $O$、$P$ の共有点が1個である。
(3) 2円 $O$、$P$ の共通接線が、座標が6である数直線上の点 $A$ を通る。
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図のように、数直線上の原点を中心とする半径3の円 $O$ と、この数直線上を動く点 $P$ を中心とする半径2の円 $P$ がある。$P$ の座標を $t$ とするとき、次の条件を満たす $t$ の値、または $t$ の値の範囲を求めよ。
(1) 2円 $O$、$P$ の共通接線が4本引ける。
(2) 2円 $O$、$P$ の共有点が1個である。
(3) 2円 $O$、$P$ の共通接線が、座標が6である数直線上の点 $A$ を通る。
下の図において、角θを求めよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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下の図において、角 $\theta$ を求めよ。
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下の図において、角 $\theta$ を求めよ。
鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ が $BC$ と交わる点を $D$、$\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $E$ とする。このとき、$D$ は線分 $HE$ の中点であることを証明せよ。
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鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ が $BC$ と交わる点を $D$、$\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $E$ とする。このとき、$D$ は線分 $HE$ の中点であることを証明せよ。
円oにおいて、平行な2つの弦をAA´、BB´とし、AB´とA´Bが円の内部の点Pで交わっている。このとき、∠APB＝∠AOBであることを証明せよ。【数A】【図形の性質｜円に内接する図形】
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円 $O$ において、平行な2つの弦を $AA'$、$BB'$ とし、$AB'$ と $A'B$ が円の内部の点 $P$ で交わっている。このとき、$\angle APB=\angle AOB$ であることを証明せよ。
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円 $O$ において、平行な2つの弦を $AA'$、$BB'$ とし、$AB'$ と $A'B$ が円の内部の点 $P$ で交わっている。このとき、$\angle APB=\angle AOB$ であることを証明せよ。
上の図において、点Pが線分CD上を動くとき、線分の和AP＋PBの最小値とそのときの点Pの位置を求めよ。【数A】【図形の性質｜三角形の関係証明】
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問題文全文(内容文)：
上の図において、点 $P$ が線分 $CD$ 上を動くとき、線分の和 $AP+PB$ の最小値とそのときの点 $P$ の位置を求めよ。
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上の図において、点 $P$ が線分 $CD$ 上を動くとき、線分の和 $AP+PB$ の最小値とそのときの点 $P$ の位置を求めよ。
△ABCの内部の1点をPとするとき、AP＋BP＋CP＞1/2（AB＋BC＋CA）を証明せよ。【数A】【図形の性質｜三角形の関係証明】
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問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$ の内部の1点を $P$ とするとき、$AP+BP+CP>\dfrac{1}{2}(AB+BC+CA)$ を証明せよ。
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$\triangle ABC$ の内部の1点を $P$ とするとき、$AP+BP+CP>\dfrac{1}{2}(AB+BC+CA)$ を証明せよ。
次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するようなXの値の範囲を求めよ。(1)X、２、６ (2)３X、X＋４、X＋２【数A】【図形の性質｜三角形の辺と角】
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次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $x$、$2$、$6$
(2) $3x$、$x+4$、$x+2$
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次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求めよ。
(1) $x$、$2$、$6$
(2) $3x$、$x+4$、$x+2$
△ABCにおいて、AB＞ACとする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとする時、次の①～④のうちで常に成り立つものを全て選べ。①BP＝PC ②AB＞AP ほか【数A】【図形の性質｜三角形の辺と角】
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$\triangle ABC$ において、$AB>AC$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とするとき、次の①～④のうちで常に成り立つものをすべて選べ。
$①\ BP=PC$
$②\ AB>AP$
$③\ AC>AP$
$④\ AC>CP$
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$\triangle ABC$ において、$AB>AC$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とするとき、次の①～④のうちで常に成り立つものをすべて選べ。
$①\ BP=PC$
$②\ AB>AP$
$③\ AC>AP$
$④\ AC>CP$
∠B＝90度の直角三角形ABCの辺BC上に頂点と異なる点Pを取る時、AB＜AP＜ACであることを証明せよ。【数A】【図形の性質｜三角形の辺と角】
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△ABCの辺ABを２：１に内分する点をD、辺ACを３：１に内分する点をEとする。直線DEとBCの交点をPとする。(1)BP：PCを求めよ。ほか【数A】【図形の性質｜チェバメネラウス】
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$\triangle ABC$ の辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とする。直線 $DE$ と $BC$ の交点を $P$ とする。
(1) $BP:PC$ を求めよ。
(2) $DP:PE$ を求めよ。
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$\triangle ABC$ の辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とする。直線 $DE$ と $BC$ の交点を $P$ とする。
(1) $BP:PC$ を求めよ。
(2) $DP:PE$ を求めよ。
△ABCの辺ABを２：３に内分する点をR、辺ACを５：６に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をOとする。直線AOと辺BCの交点をPとする。（以下略）【数A】【図形の性質｜チェバメネラウス】
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$\triangle ABC$ の辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $R$、辺 $AC$ を $5:6$ に内分する点を $Q$ とする。線分 $BQ$ と線分 $CR$ の交点を $O$ とする。直線 $AO$ と辺 $BC$ の交点を $P$ とする。
(1) $BP:PC$ を求めよ。
(2) $\triangle OBC:\triangle ABC$ を求めよ。
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$\triangle ABC$ の辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $R$、辺 $AC$ を $5:6$ に内分する点を $Q$ とする。線分 $BQ$ と線分 $CR$ の交点を $O$ とする。直線 $AO$ と辺 $BC$ の交点を $P$ とする。
(1) $BP:PC$ を求めよ。
(2) $\triangle OBC:\triangle ABC$ を求めよ。
△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる点D、Eを取る時、等式【△ADE/△ABC】＝【AD/AB】×【AE/AC】が成り立つことを証明せよ。ほか【数A】【図形の性質｜チェバメネラウス】
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(1) $\triangle ABC$ の辺 $AB$、$AC$ 上に、それぞれ頂点と異なる点 $D$、$E$ を取るとき、
等式 $\dfrac{\triangle ADE}{\triangle ABC}=\dfrac{AD}{AB}\times\dfrac{AE}{AC}$ が成り立つことを証明せよ。
(2) $\triangle ABC$ の辺 $BC$ を $2:3$、辺 $CA$ を $3:1$、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点をそれぞれ $D$、$E$、$F$ とするとき、次の値を求めよ。
(ア) $\dfrac{\triangle AFE}{\triangle ABC}$
(イ) $\dfrac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$
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(1) $\triangle ABC$ の辺 $AB$、$AC$ 上に、それぞれ頂点と異なる点 $D$、$E$ を取るとき、
等式 $\dfrac{\triangle ADE}{\triangle ABC}=\dfrac{AD}{AB}\times\dfrac{AE}{AC}$ が成り立つことを証明せよ。
(2) $\triangle ABC$ の辺 $BC$ を $2:3$、辺 $CA$ を $3:1$、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点をそれぞれ $D$、$E$、$F$ とするとき、次の値を求めよ。
(ア) $\dfrac{\triangle AFE}{\triangle ABC}$
(イ) $\dfrac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとする。角Ｂの内部の傍接円ＩＢの半径はＡＤに等しいことを証明せよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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$AB=AC$ である二等辺三角形 $ABC$ の頂点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線を $AD$ とする。$\angle B$ の内部の傍接円 $I_{B}$ の半径は $AD$ に等しいことを証明せよ。
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$AB=AC$ である二等辺三角形 $ABC$ の頂点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線を $AD$ とする。$\angle B$ の内部の傍接円 $I_{B}$ の半径は $AD$ に等しいことを証明せよ。
三角形ABCの内心をI、角Aの内部の傍心をＩ₁とする時、次の問いに答えよ。（１）角ＩＢＩ₁の大きさを求めよ。ほか【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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$\triangle ABC$ の内心を $I$、$\angle A$ の内部の傍心を $I_{1}$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) $\angle IBI_{1}$ の大きさを求めよ。
(2) $\triangle ABC$ の外接円は線分 $II_{1}$ を二等分することを証明せよ。
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$\triangle ABC$ の内心を $I$、$\angle A$ の内部の傍心を $I_{1}$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) $\angle IBI_{1}$ の大きさを求めよ。
(2) $\triangle ABC$ の外接円は線分 $II_{1}$ を二等分することを証明せよ。
三角形ABCの内心をIとし、3辺BC、CA、ABに関してIと対称な点をそれぞれP,Q,Rとする。Iは三角形PQRについてどのような点か？【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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$\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、3辺 $BC$、$CA$、$AB$ に関して $I$ と対称な点をそれぞれ $P$、$Q$、$R$ とする。$I$ は $\triangle PQR$ についてどのような点か。
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$\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、3辺 $BC$、$CA$、$AB$ に関して $I$ と対称な点をそれぞれ $P$、$Q$、$R$ とする。$I$ は $\triangle PQR$ についてどのような点か。
図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
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図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
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三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。（以下略）【数A】【図形の性質｜図形の性質の基本】
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#数A#図形の性質#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
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図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？