問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$
次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$
次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$
チャプター：
0:00 置換積分法を用いた計算問題
14:38 置換積分法を用いた証明問題
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$
次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+2)\sqrt{3x+4}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^4 \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}~dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}~dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^3 \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(5) $\displaystyle \int_{1}^2 \frac{dx}{e^x-1}$
(6) $\displaystyle \int_{0}^{\frac\pi4} \frac{\sin^3x}{\cos^2x}~dx$
次の定積分を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。
(1) $\displaystyle \int_{0}^1 \sqrt{2x-x^2}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{\frac12} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$
(3) $\displaystyle \int_{1}^{\frac a2} \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac32}}$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-2x+2}$
(5) $\displaystyle \int_{3}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+4}$
(6) $\displaystyle \int_{6}^{12} \frac{dx}{x^2-3x-10}$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$
(8) $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt3} \frac{2x+1}{x^2+1}~dx$
次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) $\displaystyle \int_a^b f(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$
(2) $\displaystyle\int_{-a}^af(x)~dx=\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^af(x)~dx=\int_0^{\frac a 2}\{f(x)+f(a-x)\}~dx$
(4) $f(a+x)=f(a-x)$のとき$\displaystyle \int_{a-b}^{a+b}f(x)~dx=2\int_a^{a+b}f(x)~dx$
投稿日：2025.03.12
