問題文全文(内容文)：
数学1A　大問3解説動画です

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,　$$a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{\ \ ア\ \ },　\boxed{\ \ イ\ \ },　\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ })$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{\ \ オ\ \ }$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{\ \ カ\ \ }$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{\ \ キ\ \ }$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{\ \ クケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ },　\boxed{\ \ サ\ \ },　\boxed{\ \ シ\ \ })$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{\ \ オ\ \ }$個であるものの個数は$\boxed{\ \ ス\ \ }$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{\ \ セソタ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$y=-3x^2$でxの変域が$-4 \leqq x \leqq 1$のとき
$▢ \leqq y \leqq ▢$

2021東京都立共通問題

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを繰り返し投げ、次の規則に従って数直線上の点Pを動かす。
・原点から出発して、1回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
・2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・以下同様に、直前の回で点Pgaとまった位置から出発して、奇数回目の移動では出た目の数だけ点Pを負の方向に動かし、偶数回目の移動では出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
例えば、さいころを4回投げて順に5,5,2,6の目が出た場合、点Pの座標は順に、-5,0,-2,4となる。
(1)2回目の移動後に点Pの座標が0となる確率は(ア)/(イ)、4となる確率は(ウ)/(エオ)、5となる確率は(カ)/(キク)である。
(2)4回目の移動後に点Pの座標が9となるのは、点Pの座標が2回目の移動後に(ケ)となり、4回目の移動後に9となる場合、または点Pの座標が2回目の移動後に(コ)となり、4回目の移動後に9となる場合のいずれかである。ただし、(ケ)と(コ)の順序は問わない。
よって、4回目の移動後に点Pの座標が9となる確率は(サ)/(シスセ)である。
また、4回目の移動後に点Pの座標が9であったとき、3回目の移動後の点Pの座標が4である条件付き確率は(ソ)/(タ)である。
(3)7回目の移動後に点Pの座標が13となる確率は(チ)/(ツ)^(テ)である。

問題文全文(内容文)：
${\large第2問}$
(1)ストライドを$x$,　ピッチを$z$とおく。ピッチは1秒あたりの歩数、スト
ライドは1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平
均速度は、$x$と$z$を用いて$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}(m/$秒$)$と表される。
これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は

タイム=$\displaystyle \frac{100}{\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}}$　$\cdots$①

と表されるので、$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$が最大になるときにタイムが最もよくなる。
ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。

$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$の解答群
⓪$x+z$
①$z-x$
②$xz$
③$\displaystyle \frac{x+z}{2}$
④$\displaystyle \frac{z-x}{2}$
⑤$\displaystyle \frac{xz}{2}$


(2)男子短距離100m走の選手である太郎さんは、①に着目して、タイム
が最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は、太郎さんが練習で100mを3回入った時のストライドと
ピッチのデータである。

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& 1回目 & 2回目 & 3回目\\\hline\\
ストライド & 2.05 & 2.10 & 2.15\\\hline\\
ピッチ & 4.70 & 4.60 & 4.50\\\hline
\end{array}\\$

また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、
ストライドの最大値は2.40、ピッチの最大値は4.80である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが0.05大きくなるとピッチが
0.1小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関
数としって表されると仮定した。このとき、ピッチ$z$はストライド$x$を用い
て

$z=\boxed{\ \ イウ\ \ }\ x+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ エオ\ \ }}{5}$　$\cdots$②
と表される。

②が太郎さんのストライドの最大値2.40とピッチの最大値4.80まで
成り立つと仮定すると、xの値の範囲は次のようになる。

$\boxed{\ \ カ\ \ }.\boxed{\ \ キク\ \ } \leqq x \leqq 2.40$
$y=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$とおく。②を$y=\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$に代入することにより、
$y$を$x$の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなる
ストライドとピッチを求めるためには、$\boxed{\ \ カ\ \ }.\boxed{\ \ キク\ \ } \leqq x \leqq 2.40$
の範囲で$y$の値を最大にする$x$の値を見つければよい。このとき、$y$の
値が最大になるのは$x=\boxed{\ \ ケ\ \ }.\boxed{\ \ コサ\ \ }$のときである。
よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが
$\boxed{\ \ ケ\ \ }.\boxed{\ \ コサ\ \ }$のときであり、このとき、ピッチは$\boxed{\ \ シ\ \ }.\boxed{\ \ スセ\ \ }$
である。また、この時の太郎さんのタイムは、①により$\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

⓪9.68　①9.97　②10.09
③10.33　④10.42　⑤10.55


(1)図1(※動画参照)は、1975年度から2010年度まで5年ごとの8個の年度
(それぞれを時点という)における都道府県別の三つの産業の就業者数割合を
箱ひげ図で表したものである。各時点の箱ひげ図は、それぞれ上から順に
第1次産業、第2次産業、第3次産業のものである。

次の⓪～⑤のうち、図1から読み取れることとして正しくないものは
$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}と\boxed{\boxed{\ \ チ\ \ }}$である。


$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ チ\ \ }}$の解答群(解答の順序は問わない。)

⓪第1次産業の就業者数割合の四分位範囲は、2000年度までは、
後の時点になるにしたがって減少している。
①第1次産業の就業者数割合について、左側のひげの長さと右側の
ひげの長さを比較すると、どの時点においても左側の方が長い。
②第2次産業の就業者数割合の中央値は、1990年度以降、後の
時点になるにしたがって現象している。
③第2次産業の就業者数割合の第1四分位数は、後の時点
になるにしたがって減少している。
④第3次産業の就業者数割合の第3四分位数は、後の時点
になるにしたがって増加している。
⑤第3次産業の就業者数割合の最小値は、後の時点
になるにしたがって増加している。


(2)(1)で取り上げた8時点の中から5時点を取り出して考える。各時点に
おける都道府県別の、第1次産業と第3次産業の就業者数割合のヒストグラム
を一つのグラフにまとめて書いたものが、次ページの5つのグラフである。
それぞれの右側の網掛けしたヒストグラムが第3次産業のものである。
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値
を含まない。

・1985年度におけるグラフは$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$である。
・1995年度におけるグラフは$\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}$である。


$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうち
から一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(※選択肢は動画参照)


(3)三つの産業から二つずつを組み合わせて都道府県別の就業者数割合の
散布図を作成した。図2の散布図群(※動画参照)は、左から順に1975年度
における第1次産業(横軸)と第2次産業(縦軸)の散布図、第2次産業(横軸)と
第3次産業(縦軸)の散布図、および第3次産業(横軸)と第1次産業(縦軸)の
散布図である。また、図3(※動画参照)は同様に作成した2015年度の散布図群である。


下の$(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})$は、1975年度を基準としたときの、2015年度
の変化を記述したものである。ただし、ここで「相関が強くなった」とは、相関係数
の絶対値が大きくなったことを意味する。

$(\textrm{I})$都道府県別の第1次産業の就業者数割合と第2次産業の就業者数割合
の間の相関は強くなった。
$(\textrm{II})$都道府県別の第2次産業の就業者数割合と第3次産業の就業者数割合
の間の相関は強くなった。
$(\textrm{III})$都道府県別の第3次産業の就業者数割合と第1次産業の就業者数割合
の間の相関は強くなった。

$(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})$の正誤の組み合わせとして正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。
(※$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }の解答群は動画参照}$)


(4)各都道府県の就業者数の内訳として男女別の就業者数も発表されている。
そこで、就業者数に対する男性・女性の就業者数の割合をそれぞれ
「男性の就業者数割合」、「女性の就業者数割合」と呼ぶことにし、これらを
都道府県別に算出した。図4(※動画参照)は、2015年度における都道府県別の、第1
次産業の就業者数割合(横軸)と、男性の就業者数割合(縦軸)の散布図である。

各都道府県の、男性の就業者数と女性の就業者数を合計すると就業者数
の全体となることに注意すると、2015年度における都道府県別の、第1
次産業の就業者数割合(横軸)と、女性の就業者数割合(縦軸)の散布図は
$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$については、最も適当なものを、下の⓪～③のうちから
一つ選べ。
(※選択肢は動画参照)

2021共通テスト過去問